Кинематика. Шорохов А.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

ускорения w, а также радиус кривизны траектории ρ для момента времени
t = 2с, если уравнения движения материальной точки имеют вид
x = 2 sin(
πt
8
) − 3(см),
y = 3 cos(
πt
8
) + 4(см).
(27)
Для нахождения уравнения траектории исключим из уравнений дви-
жения время:
x+3
2
= sin(
πt
8
),
y−4
3
= cos(
πt
8
).
=⇒
(x + 3)
2
4
+
(y − 4)
2
9
= sin
2
πt
8
+ cos
2
πt
8
= 1. (28)
Следовательно, траекторией движения точки является эллипс с полуосями
a = 2, b = 3 и с центром в точке (−3, 4).
Найдем проекции скорости на оси координат:
v
x
=
dx
dt
=
π
4
cos
πt
8
, v
y
= −
3π
8
sin
πt
8
. (29)
Абсолютное значение скорости
v =
v
2
x
+ v
2
y
=
π
2
16
cos
2
πt
8
+
9π
2
64
sin
2
πt
8
≈ 1 см/с. (30)
Найдем тангенциальное ускорение
w
τ
=
dv
dt
=
5π
2
256
sin(πt/4)
cos
2
(πt/8) + 2.25 sin
2
(πt/8)
≈ 0, 1 см/с
2
(31)
Найдем нормальное ускорение. Для этого вначале вычислим модуль
полного ускорения материальной точки через его проекции на оси x и y:
w
x
=
dv
x
dt
= −
π
2
32
sin
πt
8
≈ −0, 2 см/с
2
, (32)
w
y
=
dv
y
dt
= −
3π
2
64
cos
πt
8
≈ −0, 3 см/с
2
. (33)
Тогда полное ускорение
w =
w
2
x
+ w
2
y
≈ 0, 36 см/с
2
. (34)
Теперь выразим полное ускорение через его проекции (нормальное уско-
рение и тангенциальное ускорение) на две другие взаимно ортогональные оси
w =
w
2
τ
+ w
2
n
. Отсюда
w
n
=
w
2
− w
2
τ
≈ 0, 35 см/с
2
. (35)
12
ускорения w, а также радиус кривизны траектории ρ для момента времени
t = 2с, если уравнения движения материальной точки имеют вид
                        {
                                     8 ) − 3(см),
                          x = 2 sin( πt
                                                                            (27)
                              y = 3 cos( πt
                                         8 ) + 4(см).

      Для нахождения уравнения траектории исключим из уравнений дви-
жения время:
    {
      x+3      πt
       2 = sin( 8 ),         (x + 3)2 (y − 4)2       2 πt       2 πt
       y−4
                          =⇒         +         = sin      + cos      = 1.   (28)
        3    = cos( πt
                    8  ).       4        9             8          8
Следовательно, траекторией движения точки является эллипс с полуосями
a = 2, b = 3 и с центром в точке (−3, 4).
     Найдем проекции скорости на оси координат:
                      dx π       πt        3π    πt
                    vx = = cos , vy = − sin .                               (29)
                      dt   4      8         8     8
     Абсолютное значение скорости
             √           √
                           π2       πt 9π 2 2 πt
                2    2
          v = vx + vy =       cos 2   +     sin    ≈ 1 см/с.                (30)
                           16       8   64      8
     Найдем тангенциальное ускорение
             dv   5π 2        sin(πt/4)
        wτ =    =      √                           ≈ 0, 1 см/с2             (31)
             dt   256 cos (πt/8) + 2.25 sin (πt/8)
                         2                 2

     Найдем нормальное ускорение. Для этого вначале вычислим модуль
полного ускорения материальной точки через его проекции на оси x и y:
                           dvx    π2   πt
                    wx =       = − sin    ≈ −0, 2 см/с2 ,                   (32)
                            dt    32   8

                      dvy    3π 2     πt
                 wy =     =−      cos    ≈ −0, 3 см/с2 .                    (33)
                       dt    64       8
Тогда полное ускорение
                          √
                     w = wx2 + wy2 ≈ 0, 36 см/с2 .                          (34)

     Теперь выразим полное ускорение через его проекции (нормальное уско-
рение и тангенциальное ускорение) на две другие взаимно ортогональные оси
    √
w = wτ2 + wn2 . Отсюда
                          √
                     wn = w2 − wτ2 ≈ 0, 35 см/с2 .                   (35)

12

Страницы