Кинематика. Шорохов А.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
Часто при решении конкретной задачи бывает удобно пользоваться не
декартовой системой координат, а криволинейной системой, в которой дви-
жение материальной точки может выглядеть проще. Такое часто случается,
когда система обладает той или иной симметрией. Рассмотрим вначале дви-
жение материальной точки в полярных координатах, а затем рассмотрим
общий случай произвольных криволинейных координат.
1. Движение материальной точки в полярных координатах.
Пусть материальная точка движется в некоторой плоскости xOy (рис. 9).
x
y
r
O
M
f
r
0
p
0
dp
0
dt
Рис. 9. Движение материальной точки в по-
лярных координатах
Движение точки, происходящее в
неподвижной плоскости, часто опи-
сывают с помощью полярных коорди-
нат: расстояния r от точки до полю-
са O и угла φ между полярной осью
(x) и отрезком, соединяющим полюс
и рассматриваемую точку. Уравне-
ния движения материальной точки в
полярных координатах имеют вид:
{
r = r(t),
φ = φ(t).
(39)
Полярные и декартовы координаты связаны между собой очевидными
соотношениями x = r cos φ, y = r sin φ.
Найдем скорость и ускорение точки M. Пусть ⃗r
0
– единичный вектор,
направленный вдоль радиус-вектора, соединяющего полюс и точку M. Най-
дем скорость согласно ее определению:
⃗v =
d⃗r
dt
=
d
dt
(⃗r
0
r) = ⃗r
0
dr
dt
+
d⃗r
0
dt
r. (40)
Производная от единичного вектора ⃗r
0
определяется формулой (18):
d⃗r
0
dt
= ⃗p
0
dφ
dt
, (41)
15
                                     Глава 2
                 ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
                 В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

     Часто при решении конкретной задачи бывает удобно пользоваться не
декартовой системой координат, а криволинейной системой, в которой дви-
жение материальной точки может выглядеть проще. Такое часто случается,
когда система обладает той или иной симметрией. Рассмотрим вначале дви-
жение материальной точки в полярных координатах, а затем рассмотрим
общий случай произвольных криволинейных координат.

     1. Движение материальной точки в полярных координатах.

     Пусть материальная точка движется в некоторой плоскости xOy (рис. 9).
                                           Движение точки, происходящее в
             y                             неподвижной плоскости, часто опи-
                     M
                                           сывают с помощью полярных коорди-
                                           нат: расстояния r от точки до полю-
                 r                         са O и угла φ между полярной осью
                                           (x) и отрезком, соединяющим полюс
      p0    r0   f                         и рассматриваемую точку. Уравне-
                                           ния движения материальной точки в
           O                     x        полярных координатах имеют вид:
           dp0
           dt                                       {
                                                       r = r(t),
Рис. 9. Движение материальной точки в по-
                                                                       (39)
                                                       φ = φ(t).
лярных координатах
     Полярные и декартовы координаты связаны между собой очевидными
соотношениями x = r cos φ, y = r sin φ.
     Найдем скорость и ускорение точки M . Пусть ⃗r0 – единичный вектор,
направленный вдоль радиус-вектора, соединяющего полюс и точку M . Най-
дем скорость согласно ее определению:
                            d⃗r  d             dr d⃗r0
                     ⃗v =       = (⃗r0 r) = ⃗r0 +      r.                 (40)
                            dt   dt            dt dt
     Производная от единичного вектора ⃗r0 определяется формулой (18):
                                  d⃗r0      dφ
                                       = p⃗0 ,                            (41)
                                  dt        dt
                                                                            15

Страницы