Кинематика. Шорохов А.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

r
O
r
dr
ds
df
а
O
r
V
V
sec
б
Рис. 10. Секторная скорость
d⃗r (рис. 10а). Тогда модуль секторной скорости V
sec
равен скорости, с кото-
рой изменяется площадь, очерчиваемая радиус-вектором материальной точ-
ки (рис. 10б). Выражение для модуля секторной скорости можно переписать и
в другом виде, заметив, что dσ = r ·rdφ/2 (рис. 10а). Тогда модуль секторной
скорости V
sec
= r
2
˙φ/2.
Задача 2.1[6, с. 8]. Точка движется по плоской траектории с постоян-
ной секторной скоростью, причем величина линейной скорости точки обратно
пропорциональна ее расстоянию ρ от начала координат. Найти уравнение тра-
ектории, уравнения движения ⃗r(t) и ускорение точки как функцию ρ, если
⃗r(0) = ⃗r
0
, ⃗v(0) = ⃗v
0
.
По условию задачи
V
sec
= ρ
2
˙φ/2 = const (46)
и величина линейной скорости v обратно пропорциональна расстоянию ρ от
начала координат v = a/ρ (a = const). В полярных координатах модуль
скорости материальной точки можно найти, используя формулу (42):
v
2
=
a
2
ρ
2
= ˙ρ
2
+ ρ
2
˙φ
2
. (47)
Исключим из уравнений (46) и (47) ˙φ, получим
˙ρ
2
+
4V
2
sec
ρ
2
=
a
2
ρ
2
. (48)
Разделим в данном уравнении переменные
ρ
∫
ρ
0
ρdρ =
t
∫
0
√
a
2
− 4V
2
sec
dt, (49)
получим
ρ
2
= ρ
2
0
+ 2
√
a
2
− 4V
2
sec
t. (50)
17
                              dr                                                  V
                r       ds                                             Vsec
               df
                         r                                                    r
          O                                                        O
                    а                                                  б
                                  Рис. 10. Секторная скорость

d⃗r (рис. 10а). Тогда модуль секторной скорости Vsec равен скорости, с кото-
рой изменяется площадь, очерчиваемая радиус-вектором материальной точ-
ки (рис. 10б). Выражение для модуля секторной скорости можно переписать и
в другом виде, заметив, что dσ = r · rdφ/2 (рис. 10а). Тогда модуль секторной
скорости Vsec = r2 φ̇/2.
      Задача 2.1[6, с. 8]. Точка движется по плоской траектории с постоян-
ной секторной скоростью, причем величина линейной скорости точки обратно
пропорциональна ее расстоянию ρ от начала координат. Найти уравнение тра-
ектории, уравнения движения ⃗r(t) и ускорение точки как функцию ρ, если
⃗r(0) = ⃗r0 , ⃗v (0) = ⃗v0 .
        По условию задачи

                                  Vsec = ρ2 φ̇/2 = const                              (46)

и величина линейной скорости v обратно пропорциональна расстоянию ρ от
начала координат v = a/ρ (a = const). В полярных координатах модуль
скорости материальной точки можно найти, используя формулу (42):
                                     a2
                                  v = 2 = ρ̇2 + ρ2 φ̇2 .
                                   2
                                                                                      (47)
                                     ρ
Исключим из уравнений (46) и (47) φ̇, получим
                                              2
                                       2   4Vsec a2
                                       ρ̇ + 2 = 2 .                                   (48)
                                            ρ    ρ
Разделим в данном уравнении переменные
                             ∫ρ            ∫t √
                                  ρdρ =            a2 − 4Vsec
                                                           2 dt,                      (49)
                             ρ0            0
получим
                                               √
                              ρ2 = ρ20 + 2         a2 − 4Vsec
                                                           2 t.                       (50)

                                                                                        17

Страницы