Составители:
Рубрика:
где ⃗p
0
– единичный вектор, повернутый против часовой стрелки на угол π/2
относительно вектора ⃗r
0
. Оси, задаваемые единичными векторами ⃗r
0
и ⃗p
0
,
называются радиальной и трансверсальной соответственно. В результате по-
лучим следующее выражение для скорости материальной точки в полярных
координатах
⃗v =
d
dt
(⃗r
0
r) = ⃗r
0
˙r + ⃗p
0
r ˙φ = ⃗v
r
+ ⃗v
φ
. (42)
Проекция скорости на радиальную ось v
r
= ˙r называется радиальной
скоростью. Она характеризует быстроту изменения длины полярного радиу-
са r. Проекция скорости на трансверсальную ось v
φ
= r ˙φ называется транс-
версальной (поперечной) скоростью. Она характеризует быстроту изменения
направления движения точки.
Теперь вычислим ускорение материальной точки:
⃗w =
d⃗v
dt
= ⃗r
0
d
2
r
dt
2
+
d⃗r
0
dt
dr
dt
+ ⃗p
0
r
d
2
φ
dt
2
+ ⃗p
0
dr
dt
dφ
dt
+
d⃗p
0
dt
r
dφ
dt
. (43)
Подставим в данную формулу производные от единичных векторов
d⃗r
0
/dt = ⃗p
0
dφ/dt и d⃗p
0
/dt = −⃗r
0
dφ/dt, получим
⃗w = ⃗r
0
d
2
r
dt
2
− r
dφ
dt
2
+ ⃗p
0
r
d
2
φ
dt
2
+ 2
dr
dt
dφ
dt
= ⃗w
r
+ ⃗w
φ
. (44)
Здесь w
r
= ¨r − r ˙φ
2
= ˙v
r
− ω
2
r – радиальное ускорение, w
φ
= r ¨φ + 2 ˙r ˙φ =
= εr + 2ωv
r
– трансверсальное ускорение. Соответственно модуль полного
ускорения w =
w
2
r
+ w
2
φ
.
Таким образом, движение материальной точки, описываемое в поляр-
ных координатах, является сложным движением, состоящим из поступатель-
ного движения по радиусу со скоростью v
r
и вращательного движения с уг-
ловой скоростью ω.
Иногда бывает удобно использовать понятие секторной скорости, ко-
торая определяется следующей формулой:
⃗
V
sec
=
1
2
⃗r ×⃗v. (45)
Очевидно, что выражение dσ = (1/2)|⃗r × d⃗r| представляет собой пло-
щадь сектора, очерчиваемого радиус-вектором при перемещении точки на
16
где p⃗0 – единичный вектор, повернутый против часовой стрелки на угол π/2
относительно вектора ⃗r0 . Оси, задаваемые единичными векторами ⃗r0 и p⃗0 ,
называются радиальной и трансверсальной соответственно. В результате по-
лучим следующее выражение для скорости материальной точки в полярных
координатах
d
⃗v = (⃗r0 r) = ⃗r0 ṙ + p⃗0 rφ̇ = ⃗vr + ⃗vφ . (42)
dt
Проекция скорости на радиальную ось vr = ṙ называется радиальной
скоростью. Она характеризует быстроту изменения длины полярного радиу-
са r. Проекция скорости на трансверсальную ось vφ = rφ̇ называется транс-
версальной (поперечной) скоростью. Она характеризует быстроту изменения
направления движения точки.
Теперь вычислим ускорение материальной точки:
d⃗v d2 r d⃗r0 dr d2 φ dr dφ d⃗p0 dφ
w
⃗= = ⃗r0 2 + + p⃗0 r 2 + p⃗0 + r . (43)
dt dt dt dt dt dt dt dt dt
Подставим в данную формулу производные от единичных векторов
d⃗r0 /dt = p⃗0 dφ/dt и d⃗p0 /dt = −⃗r0 dφ/dt, получим
[ ( )2 ] [ 2 ]
2
dr dφ dφ dr dφ
w
⃗ = ⃗r0 −r + p⃗0 r 2 + 2 =w
⃗r + w
⃗ φ. (44)
dt2 dt dt dt dt
Здесь wr = r̈ − rφ̇2 = v̇r − ω 2 r – радиальное ускорение, wφ = rφ̈ + 2ṙφ̇ =
= εr + 2ωvr – √
трансверсальное ускорение. Соответственно модуль полного
ускорения w = wr2 + wφ2 .
Таким образом, движение материальной точки, описываемое в поляр-
ных координатах, является сложным движением, состоящим из поступатель-
ного движения по радиусу со скоростью vr и вращательного движения с уг-
ловой скоростью ω.
Иногда бывает удобно использовать понятие секторной скорости, ко-
торая определяется следующей формулой:
1
V⃗sec = ⃗r × ⃗v . (45)
2
Очевидно, что выражение dσ = (1/2)|⃗r × d⃗r| представляет собой пло-
щадь сектора, очерчиваемого радиус-вектором при перемещении точки на
16
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
