Кинематика. Шорохов А.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Теперь найдем φ, подставив данное выражение в (47)
˙φ =
2V
sec
ρ
2
0
+ 2
√
a
2
− 4V
2
sec
t
(51)
и разделив в полученной формуле переменные
φ
∫
φ
0
dφ = 2V
sec
t
∫
0
dt
ρ
2
0
+ 2
√
a
2
− 4V
2
sec
t
. (52)
В результате получим
φ =
V
sec
√
a
2
− 4V
2
sec
ln
ρ
2
0
+ 2
√
a
2
− 4V
2
sec
t
ρ
0
+ φ
0
. (53)
Исключив из уравнений (50) и (53) время, получим уравнение траектории
ρ = ρ
0
exp
[
√
a
2
− 4V
2
sec
2V
sec
(φ − φ
0
)
]
. (54)
Найдем трансверсальное ускорение, используя его определение и формулу
(46):
w
φ
= ρ ¨φ + 2 ˙ρ ˙φ = 0. (55)
Таким образом, ускорение имеет только радиальную составляющую w
ρ
:
w
ρ
= ¨ρ − ρ ˙φ
2
= −
a
2
ρ
3
. (56)
Постоянные v
sec
и a находятся из начальных условий:
V
sec
=
1
2
ρ
0
v
0
sin α, a = ρ
0
v
0
. (57)
2. Движение материальной точки в криволинейных
координатах
Рассмотрим общий случай движения материальной точки в произволь-
ных криволинейных координатах. Пусть ⃗e
1
, ⃗e
2
, ⃗e
3
– базисные векторы неко-
торой криволинейной системы координат. В этом случае любой вектор в про-
странстве R
3
, в том числе и радиус-вектор материальной точки ⃗r, может быть
18
Теперь найдем φ, подставив данное выражение в (47)
                                          2V
                            φ̇ =          √ sec                            (51)
                                   ρ20 + 2 a2 − 4Vsec
                                                   2 t


и разделив в полученной формуле переменные
                    ∫φ                ∫t
                                                         dt
                         dφ = 2Vsec                  √               .     (52)
                                           ρ20 + 2       a2 − 4Vsec
                                                                 2 t
                   φ0                 0

В результате получим
                                                  √
                     Vsec        ρ20 + 2              a2 − 4Vsec
                                                              2 t
                φ=√           ln                                  + φ0 .   (53)
                   a2 − 4Vsec
                           2                          ρ0

Исключив из уравнений (50) и (53) время, получим уравнение траектории
                            [√                     ]
                               a2 − 4Vsec
                                       2
                 ρ = ρ0 exp               (φ − φ0 ) .               (54)
                                 2Vsec

Найдем трансверсальное ускорение, используя его определение и формулу
(46):

                              wφ = ρφ̈ + 2ρ̇φ̇ = 0.                        (55)

Таким образом, ускорение имеет только радиальную составляющую wρ :
                                              a2
                             wρ = ρ̈ − ρφ̇ = − 3 .
                                              2
                                                                           (56)
                                              ρ
Постоянные vsec и a находятся из начальных условий:
                               1
                         Vsec = ρ0 v0 sin α,         a = ρ0 v0 .           (57)
                               2



        2. Движение материальной точки в криволинейных
координатах

        Рассмотрим общий случай движения материальной точки в произволь-
ных криволинейных координатах. Пусть ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 – базисные векторы неко-
торой криволинейной системы координат. В этом случае любой вектор в про-
странстве R3 , в том числе и радиус-вектор материальной точки ⃗r, может быть

18

Страницы