Кинематика. Шорохов А.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

разложен в данный момент времени по базисным векторам криволинейной
системы
⃗r = q
1
⃗e
1
+ q
2
⃗e
2
+ q
3
⃗e
3
. (58)
Коэффициенты разложения q
i
(i = 1, 2, 3) называются криволинейны-
ми (обобщенными) координатами точки, в отличие от прямолинейных де-
картовых, и однозначно определяют ее положение в пространстве. Наиболее
известными примерами криволинейных координат являются полярные, ци-
линдрические и сферические координаты.
Между прямолинейными и криволинейными координатами должна су-
ществовать взаимооднозначная функциональная зависимость
x = x(q
1
, q
2
, q
3
),
y = y(q
1
, q
2
, q
3
),
z = z(q
1
, q
2
, q
3
).
q
1
= q
1
(x, y, z),
q
2
= q
2
(x, y, z),
q
3
= q
3
(x, y, z).
(59)
Все функции, входящие в данные соотношения должны быть гладкими, и
соответствующий Якобиан не равен нулю
∂(q
1
, q
2
, q
3
)
∂(x, y, z)
=
∂q
1
∂x
∂q
2
∂x
∂q
3
∂x
∂q
1
∂y
∂q
2
∂y
∂q
3
∂y
∂q
1
∂z
∂q
2
∂z
∂q
3
∂z
.
̸= 0 (60)
q
1
q
3
q
2
e
1
e
2
e
3
M
0
q
3
const
=
q
const
=
q
const
=
2
1
Рис. 11. Движение материальной точки в
криволинейных координатах
Рассмотрим более подробно гео-
метрические характеристики криво-
линейных координат (рис. 11). Для
этого возьмем произвольную точ-
ку M
0
(q
01
, q
02
, q
03
) в пространстве и
проведем через нее концом радиус-
вектора три координатные линии,
фиксируя поочередно значения двух
координат из трех. Например, пер-
вая координатная линия описыва-
ется концом радиус-вектора ⃗r =
= ⃗r(q
1
, q
02
, q
03
). Такая линия будет
являться годографом вектора ⃗r, образованного непрерывным изменением ⃗r
19
разложен в данный момент времени по базисным векторам криволинейной
системы

                                       ⃗r = q1⃗e1 + q2⃗e2 + q3⃗e3 .                          (58)

     Коэффициенты разложения qi (i = 1, 2, 3) называются криволинейны-
ми (обобщенными) координатами точки, в отличие от прямолинейных де-
картовых, и однозначно определяют ее положение в пространстве. Наиболее
известными примерами криволинейных координат являются полярные, ци-
линдрические и сферические координаты.
     Между прямолинейными и криволинейными координатами должна су-
ществовать взаимооднозначная функциональная зависимость
                                        
                
                  x = x(q  , q
                           1 2 3 , q  ), 
                                          q1 = q1 (x, y, z),
                   y = y(q1 , q2 , q3 ),   q2 = q2 (x, y, z),                                (59)
                
                                        
                                         
                   z = z(q1 , q2 , q3 ).   q3 = q3 (x, y, z).

Все функции, входящие в данные соотношения должны быть гладкими, и
соответствующий Якобиан не равен нулю
                                                   ∂q1   ∂q2   ∂q3
                                                   ∂x    ∂x     ∂x
                             ∂(q1 , q2 , q3 )
                                              =    ∂q1
                                                   ∂y
                                                         ∂q2
                                                         ∂y
                                                               ∂q3
                                                                ∂y
                                                                      ̸= 0                   (60)
                              ∂(x, y, z)           ∂q1   ∂q2   ∂q3
                                                   ∂z    ∂z    ∂z .

                                                                Рассмотрим более подробно гео-
              q3                                         метрические характеристики криво-
                                                         линейных координат (рис. 11). Для
                                                         этого возьмем произвольную точ-
                         e3 q1 = const
       q = const
                                                         ку M0 (q01 , q02 , q03 ) в пространстве и
          2
                                  e2                     проведем через нее концом радиус-
                    e1
                          M0                             вектора три координатные линии,
                         q = const
                         3
                                              q2         фиксируя поочередно значения двух
                                                         координат из трех. Например, пер-
               q1
                                                         вая координатная линия описыва-
Рис. 11. Движение материальной точки в ется концом радиус-вектора ⃗       r =
криволинейных координатах              = ⃗r(q1 , q02 , q03 ). Такая линия будет
являться годографом вектора ⃗r, образованного непрерывным изменением ⃗r

                                                                                               19

Страницы