Составители:
Рубрика:
Вычислим ускорение точки в криволинейных ортогональных координа-
тах. Ортогональные проекции ускорения w
i
на направления единичных век-
торов ⃗e
i
равны скалярному произведению w
i
= ⃗w⃗e
i
:
w
i
=
d⃗v
dt
⃗e
i
=
1
H
i
d⃗v
dt
∂⃗r
∂q
i
=
1
H
i
[
d
dt
(
⃗v
∂⃗r
∂q
i
)
−⃗v
d
dt
(
∂⃗r
∂q
i
)]
. (67)
Учитывая, что
d
dt
(
∂⃗r
∂q
i
)
=
∂
2
⃗r
∂q
i
∂q
1
˙q
1
+
∂
2
⃗r
∂q
i
∂q
2
˙q
2
+
∂
2
⃗r
∂q
i
∂q
3
˙q
3
, (68)
и дифференцируя (65) по криволинейным координатам
∂⃗v
∂q
i
=
∂
2
⃗r
∂q
1
∂q
i
˙q
1
+
∂
2
⃗r
∂q
2
∂q
i
˙q
2
+
∂
2
⃗r
∂q
3
∂q
i
˙q
3
, (69)
получим из сравнения (68) и (69)
d
dt
(
∂⃗r
∂q
i
)
=
∂⃗v
∂q
i
. (70)
Теперь продифференцируем (65) по обобщенным скоростям, получим
∂⃗r
∂q
i
=
∂⃗v
∂ ˙q
i
. (71)
Подставляя (70) и (71) в (67), получим для проекций ускорения
w
i
=
1
H
i
[
d
dt
(
⃗v
d⃗v
d ˙q
i
)
−⃗v
∂⃗v
∂q
i
]
. (72)
Если ввести обозначение T = v
2
/2, то выражение для w
i
можно запи-
сать в более простом виде:
w
i
=
1
H
i
[
d
dt
∂T
∂ ˙q
i
−
∂T
∂q
i
]
. (73)
Таким образом, для вычисления ускорения точки в криволинейных ор-
тогональных координатах необходимо сначала найти коэффициенты Ламе,
затем вычислить квадрат скорости точки v
2
= H
2
1
˙q
2
1
+ H
2
2
˙q
2
2
+ H
2
3
˙q
2
3
, а потом
найти проекции ускорения по формуле (73).
Пример 2.1. Найдем скорость и ускорение материальной точки в сфе-
рической системе координат. Положение точки задается в сферической си-
стеме тремя криволинейными координатами: q
1
= r (r ≥ 0) – расстоянием до
начала координат, полярным q
2
= φ (0 ≤ φ ≤ 2π) и азимутальным углами
q
3
= θ (0 ≤ θ ≤ π) соответственно (рис. 12).
21
Вычислим ускорение точки в криволинейных ортогональных координа-
тах. Ортогональные проекции ускорения wi на направления единичных век-
торов ⃗ei равны скалярному произведению wi = w⃗ ⃗ ei :
[ ( ) ( )]
d⃗v 1 d⃗v ∂⃗r 1 d ∂⃗r d ∂⃗r
wi = ⃗ei = = ⃗v − ⃗v . (67)
dt Hi dt ∂qi Hi dt ∂qi dt ∂qi
Учитывая, что
( )
d ∂⃗r ∂ 2⃗r ∂ 2⃗r ∂ 2⃗r
= q̇1 + q̇2 + q̇3 , (68)
dt ∂qi ∂qi ∂q1 ∂qi ∂q2 ∂qi ∂q3
и дифференцируя (65) по криволинейным координатам
∂⃗v ∂ 2⃗r ∂ 2⃗r ∂ 2⃗r
= q̇1 + q̇2 + q̇3 , (69)
∂qi ∂q1 ∂qi ∂q2 ∂qi ∂q3 ∂qi
получим из сравнения (68) и (69)
( )
d ∂⃗r ∂⃗v
= . (70)
dt ∂qi ∂qi
Теперь продифференцируем (65) по обобщенным скоростям, получим
∂⃗r ∂⃗v
= . (71)
∂qi ∂ q̇i
Подставляя (70) и (71) в (67), получим для проекций ускорения
[ ( ) ]
1 d d⃗v ∂⃗v
wi = ⃗v − ⃗v . (72)
Hi dt dq̇i ∂qi
Если ввести обозначение T = v 2 /2, то выражение для wi можно запи-
сать в более простом виде:
[ ]
1 d ∂T ∂T
wi = − . (73)
Hi dt ∂ q̇i ∂qi
Таким образом, для вычисления ускорения точки в криволинейных ор-
тогональных координатах необходимо сначала найти коэффициенты Ламе,
затем вычислить квадрат скорости точки v 2 = H12 q̇12 + H22 q̇22 + H32 q̇32 , а потом
найти проекции ускорения по формуле (73).
Пример 2.1. Найдем скорость и ускорение материальной точки в сфе-
рической системе координат. Положение точки задается в сферической си-
стеме тремя криволинейными координатами: q1 = r (r ≥ 0) – расстоянием до
начала координат, полярным q2 = φ (0 ≤ φ ≤ 2π) и азимутальным углами
q3 = θ (0 ≤ θ ≤ π) соответственно (рис. 12).
21
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
