Кинематика. Шорохов А.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

x
y
z
r
O
M(r,f,q)
f
q
e
r
e
f
e
q
Рис. 12. Сферическая система координат.
Декартовы координаты выра-
жаются через сферические следую-
щими соотношениями:
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ.
(74)
Найдем коэффициенты Ламе
по формуле (62), получим
H
1
= H
r
= 1, H
2
= H
φ
=
= ρ sin θ, H
3
= H
θ
= r.
Теперь найдем проекции скоро-
сти согласно (66)
v
r
= ˙r, v
φ
= r ˙φ sin θ, v
θ
= r
˙
θ, (75)
а также квадрат скорости
v
2
= ˙ρ
2
+ ρ
2
˙φ
2
sin
2
θ + ρ
2
˙
θ
2
. (76)
Вычислим производные ∂T/∂q
i
и ∂T/∂ ˙q
i
:
∂T
∂r
= r(
˙
θ
2
+ ˙φ
2
sin
2
θ),
∂T
∂ ˙r
= ˙r;
∂T
∂φ
= 0,
∂T
∂ ˙φ
= r
2
˙φ sin
2
θ; (77)
∂T
∂θ
= r
2
˙φ
2
sin θ cos θ,
∂T
∂
˙
θ
= r
2
˙
θ.
Подставим полученные производные в (73), чтобы найти проекции ускорения:
w
r
= ¨r − r sin
2
θ ˙φ
2
− r
˙
θ
2
,
w
φ
= r sin θ ¨φ + 2 sin θ ˙r ˙φ + 2r cos θ ˙φ
˙
θ, (78)
w
θ
= r
¨
θ + 2r
¨
θ − r sin θ cos θ ˙φ
2
.
     Декартовы координаты выра-
                                                                         z
жаются через сферические следую-
щими соотношениями:                                                              ef     er
                                                                                      M(r,f,q)
      
      
       x = r sin θ cos φ,                                                                   eq
        y = r sin θ sin φ,            (74)                               q
      
                                                                            r
        z = r cos θ.
                                                                 O
     Найдем коэффициенты Ламе                                                                     y
                                                                     f
по формуле (62), получим
     H1 = Hr = 1, H2 = Hφ =
                                                     x
= ρ sin θ, H3 = Hθ = r.
     Теперь найдем проекции скоро-             Рис. 12. Сферическая система координат.

сти согласно (66)

                    vr = ṙ,      vφ = rφ̇ sin θ,        vθ = rθ̇,                                (75)

а также квадрат скорости

                          v 2 = ρ̇2 + ρ2 φ̇2 sin2 θ + ρ2 θ̇2 .                                    (76)

     Вычислим производные ∂T /∂qi и ∂T /∂ q̇i :
                      ∂T                            ∂T
                         = r(θ̇2 + φ̇2 sin2 θ),           = ṙ;
                      ∂r                             ∂ ṙ
                      ∂T          ∂T
                         = 0,          = r2 φ̇ sin2 θ;                                            (77)
                      ∂φ          ∂ φ̇
                      ∂T                          ∂T
                         = r2 φ̇2 sin θ cos θ,          = r2 θ̇.
                      ∂θ                          ∂ θ̇
Подставим полученные производные в (73), чтобы найти проекции ускорения:

                    wr = r̈ − r sin2 θφ̇2 − rθ̇2 ,
                    wφ = r sin θφ̈ + 2 sin θṙφ̇ + 2r cos θφ̇θ̇,                                  (78)
                    wθ = rθ̈ + 2rθ̈ − r sin θ cos θφ̇2 .

Страницы