Кинематика. Шорохов А.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

при непрерывном изменении только первой криволинейной координаты. Про-
ведя касательные к этим линиям в точке M
0
, получим координатные оси
криволинейной системы координат. Единичные векторы координатных осей
и будут являться базисными векторами ⃗e
i
(i = 1, 2, 3) криволинейной системы
координат. При этом поверхности q
1
= const, q
2
= const, q
3
= const называют-
ся координатными поверхностями. Если векторы ⃗e
i
взаимно ортогональны,
то криволинейные координаты называют ортогональными.
Из сказанного выше очевидно, что частные производные ∂⃗r/∂q
i
совпа-
дают по направлению с соответствующими единичными векторами криволи-
нейной системы ⃗e
i
:
∂⃗r
∂q
i
= H
i
⃗e
i
, (61)
где множители H
i
называются коэффициентами Ламе. Как следует из (61),
коэффициенты Ламе равны:
H
i
=
∂⃗r
∂q
i
=
√
(
∂x
∂q
i
)
2
+
(
∂y
∂q
i
)
2
+
(
∂z
∂q
i
)
2
, (62)
где было использовано, что
∂⃗r
∂q
i
=
∂x
∂q
i
⃗
i +
∂y
∂q
i
⃗
j +
∂z
∂q
i
⃗
k. (63)
Найдем скорость материальной точки в ортогональных криволинейных
координатах. Согласно определению скорости
⃗v =
d⃗r
dt
=
∂⃗r
∂q
1
˙q
1
+
∂⃗r
∂q
2
˙q
2
+
∂⃗r
∂q
3
˙q
3
=
3
∑
i=1
∂⃗r
∂q
i
˙q
i
. (64)
Производные ˙q
i
называются обобщенными скоростями. Принимая во внима-
ния (61), получим
⃗v =
3
∑
i=1
∂⃗r
∂q
i
˙q
i
=
3
∑
i=1
H
i
˙q
i
⃗e
i
. (65)
Таким образом, проекции скорости на оси криволинейной системы координат
вычисляются по формулам
v
i
= H
i
˙q
i
. (66)
20
при непрерывном изменении только первой криволинейной координаты. Про-
ведя касательные к этим линиям в точке M0 , получим координатные оси
криволинейной системы координат. Единичные векторы координатных осей
и будут являться базисными векторами ⃗ei (i = 1, 2, 3) криволинейной системы
координат. При этом поверхности q1 = const, q2 = const, q3 = const называют-
ся координатными поверхностями. Если векторы ⃗ei взаимно ортогональны,
то криволинейные координаты называют ортогональными.
     Из сказанного выше очевидно, что частные производные ∂⃗r/∂qi совпа-
дают по направлению с соответствующими единичными векторами криволи-
нейной системы ⃗ei :
                                    ∂⃗r
                                        = Hi⃗ei ,                        (61)
                                    ∂qi
где множители Hi называются коэффициентами Ламе. Как следует из (61),
коэффициенты Ламе равны:
                       √( )      ( )2 ( )2
                             2
                 ∂⃗r     ∂x       ∂y    ∂z
            Hi =     =         +      +     ,                            (62)
                 ∂qi     ∂qi      ∂qi   ∂qi

где было использовано, что
                          ∂⃗r   ∂x⃗ ∂y ⃗ ∂z ⃗
                              =     i+     j+     k.                     (63)
                          ∂qi   ∂qi    ∂qi    ∂qi
     Найдем скорость материальной точки в ортогональных криволинейных
координатах. Согласно определению скорости

                    d⃗r   ∂⃗r       ∂⃗r       ∂⃗r       ∑ ∂⃗r   3
               ⃗v =     =     q̇1 +     q̇2 +     q̇3 =          q̇i .   (64)
                    dt    ∂q1       ∂q2       ∂q3       i=1
                                                            ∂q i


Производные q̇i называются обобщенными скоростями. Принимая во внима-
ния (61), получим

                               ∑3
                                   ∂⃗r        ∑3
                          ⃗v =          q̇i =     Hi q̇i⃗ei .            (65)
                               i=1
                                   ∂q i       i=1

Таким образом, проекции скорости на оси криволинейной системы координат
вычисляются по формулам

                                     vi = Hi q̇i .                       (66)

20

Страницы