Кинематика. Шорохов А.В. - 26 стр.

      1. Сложение скоростей

      В классической механике рассматривается движение со скоростями мно-
го меньшими скоростей света, поэтому ход времени в системах K и K1 оди-
наков t = t1 . Вычислим скорость при сложном движении точки. Очевидно,
что

                        ⃗ = ρ⃗ + ⃗r = ρ + x⃗i + y⃗j + z⃗k.
                        R                                               (79)

Согласно определению скорости
                     (                ) (              )
             ⃗
            dR   d⃗
                  ρ     d⃗i   d⃗j d⃗k     dx⃗ dy⃗ dz ⃗
    ⃗vабс =    =    + x +y +z          +     i+ j+ k .                  (80)
            dt   dt     dt    dt  dt      dt   dt dt

Здесь ⃗vабс – абсолютная скорость материальной точки, то есть ее скорость
относительно неподвижной системы координат. Заметим, что дифференци-
ровать необходимо и орты подвижной системы координат, так как они ме-
няют свое положение в пространстве с течением времени. Последняя скобка
в (80) представляет собой относительную скорость материальной точки ⃗vотн ,
то есть ее скорость относительно подвижной системы координат K1 :
                                     dx⃗ dy⃗ dz ⃗
                           ⃗vотн =      i + j + k,                      (81)
                                     dt    dt  dt
а оставшиеся слагаемые в (80) представляют собой переносную скорость, то
есть ту скорость, которую имела бы точка M , если бы она в данный момент
времени была жестко связана с подвижной системой координат:

                                  d⃗
                                   ρ   d⃗i d⃗j d⃗k
                        ⃗vпер =      +x +y +z .                         (82)
                                  dt   dt  dt  dt
     В выражение для переносной скорости входят производные от единич-
ных векторов, чьи координаты зависят от времени. Преобразуем эти про-
изводные, используя полученную ранее при изучения естественного способа
задания движения формулу для производной от единичного вектора (21)

              d⃗i                 d⃗j                d⃗k
                   ⃗ пер × ⃗i,
                  =ω                   ⃗ пер × ⃗j,
                                      =ω                  ⃗ пер × ⃗k,
                                                         =ω             (83)
              dt                  dt                 dt
где ω
    ⃗ пер является мгновенной угловой скоростью вращения подвижной систе-
мы отсчета относительно точки О.

24