Кинематика. Шорохов А.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

В результате получим
⃗v
пер
=
d⃗ρ
dt
+ ⃗ω
пер
×⃗r. (84)
Таким образом, абсолютную скорость можно записать в виде
⃗v
абс
= ⃗v
пер
+ ⃗v
отн
, (85)
где ⃗v
отн
определяется формулой (81), а ⃗v
пер
– формулой (84).
Рассмотрим частный случай, когда начала координат обоих систем сов-
падают (например, такая ситуация возникает при рассмотрении движения
гироскопов). В этом случае ⃗ρ = 0 и d⃗ρ/dt = 0 и, следовательно, абсолютная
скорость будет иметь следующий вид:
⃗v
абс
=
d
⃗
R
dt
= ⃗v
отн
+ ⃗v
пер
=
d⃗r
dt
+ ⃗ω
пер
×⃗r. (86)
Так как начала обеих систем координат совпадают, то
⃗
R = ⃗r, и мы получим
d⃗r
dt
=
d⃗r
dt
+ ⃗ω
пер
×⃗r. (87)
Здесь вектор d⃗r/dt является производной вектора ⃗r в неподвижной системе
координат и называется полной или абсолютной производной вектора, а век-
тор
d⃗r/dt является производной вектора ⃗r в подвижной системе координат и
называется относительной или локальной производной.
2. Сложение ускорений
Найдем абсолютное ускорение материальной точки. Воспользуемся, как
обычно, определением ускорения:
⃗w
абс
=
d⃗v
абс
dt
=
d⃗v
отн
dt
+
d⃗v
пер
dt
. (88)
Вначале вычислим производную от относительной скорости
d⃗v
отн
dt
=
d
dt
dx
dt
⃗
i +
dy
dt
⃗
j +
dz
dt
⃗
k
=
d
2
x
dt
2
⃗
i +
d
2
y
dt
2
⃗
j +
d
2
z
dt
2
⃗
k
+
dx
dt
d
⃗
i
dt
+
dy
dt
d
⃗
j
dt
+
dz
dt
d
⃗
k
dt
. (89)
25
     В результате получим
                                         d⃗
                                          ρ
                               ⃗vпер =       ⃗ пер × ⃗r.
                                            +ω                        (84)
                                         dt
     Таким образом, абсолютную скорость можно записать в виде

                                 ⃗vабс = ⃗vпер + ⃗vотн ,              (85)

где ⃗vотн определяется формулой (81), а ⃗vпер – формулой (84).
     Рассмотрим частный случай, когда начала координат обоих систем сов-
падают (например, такая ситуация возникает при рассмотрении движения
гироскопов). В этом случае ρ⃗ = 0 и d⃗
                                     ρ/dt = 0 и, следовательно, абсолютная
скорость будет иметь следующий вид:
                             ⃗
                            dR                   d⃗r
                  ⃗vабс =      = ⃗vотн + ⃗vпер =      ⃗ пер × ⃗r.
                                                     +ω               (86)
                            dt                   dt
                                                    ⃗ = ⃗r, и мы получим
Так как начала обеих систем координат совпадают, то R

                                d⃗r   er
                                      d⃗
                                    =     ⃗ пер × ⃗r.
                                         +ω                           (87)
                                dt    dt
Здесь вектор d⃗r/dt является производной вектора ⃗r в неподвижной системе
координат и называется полной или абсолютной производной вектора, а век-
    er/dt является производной вектора ⃗r в подвижной системе координат и
тор d⃗
называется относительной или локальной производной.

     2. Сложение ускорений

     Найдем абсолютное ускорение материальной точки. Воспользуемся, как
обычно, определением ускорения:
                                  d⃗vабс   d⃗vотн d⃗vпер
                        w
                        ⃗ абс =          =       +       .            (88)
                                    dt       dt     dt
Вначале вычислим производную от относительной скорости
                     (                ) ( 2                    )
         d⃗vотн   d dx⃗ dy⃗ dz ⃗             d x⃗ d2 y⃗ d2 z ⃗
                =         i+ j+ k =              i+ 2j + 2k
           dt     dt dt     dt     dt        dt2   dt   dt
                  (                      )
                    dx d⃗i dy d⃗j dz d⃗k
                +         +      +         .                          (89)
                    dt dt dt dt dt dt

                                                                        25

Страницы