Кинематика. Шорохов А.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

тело абсолютно твердое, то расстояние между данными точками не меняется:
AB =
√
(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
+ (z
2
− z
1
)
2
= const = C
1
BC =
√
(x
3
− x
2
)
2
+ (y
3
− y
2
)
2
+ (z
3
− z
2
)
2
= const = C
2
CA =
√
(x
1
− x
3
)
2
+ (y
1
− y
3
)
2
+ (z
1
− z
3
)
2
= const = C
3
i = 3. (116)
Таким образом, любые три координаты из девяти можно выразить че-
рез остальные с помощью трех уравнений (116). Такие уравнения называют-
ся уравнениями связей, а сами ограничения, накладываемые на координаты,
скорости или ускорения точек системы, называются связями. Подчеркнем,
что ограничения должны носить геометрический или кинематический харак-
тер, но не динамический. Как правило, связи представляют из себя тела, с
которыми соприкасается объект при движении (поверхности, нити, шарниры
и т.п.). Связи уменьшают число степеней свободы системы.
x
y
z
O
w
x
w
y
w
z
V
x
V
z
V
y
Рис. 19. Сложное движение твердого тела
Если на систему не наложены
связи, она называется свободной, ес-
ли наложены, то несвободной. Зна-
чит твердое тело имеет s = 9 − 3 =
= 6 степеней свободы. Отметим, что
каждое независимое движение имеет
одну степень свободы. В частности,
движение свободного твердого тела
можно представить как сложное дви-
жение, состоящее из трех поступа-
тельных движений вдоль осей декартовой системы координат со скоростя-
ми v
x
, v
y
, v
z
, и трех вращательных движений вокруг этих осей с угловыми
скоростями ω
x
, ω
y
, ω
z
(s = 6 = 3 пост + 3 вращ).
Пример 4.1. Пусть материальная точка движется по поверхности сфе-
ры. Свободная материальная точка имеет три степени свободы. Поверхность
сферы представляет собой связь, уравнение которой f(x, y, z) = x
2
+y
2
+z
2
−
R
2
= 0 (R – радиус сферы). Следовательно, такая система имеет s = 3−1 = 2
степени свободы.
В этом примере уравнение связи f(x, y, z) = 0 не зависит от време-
ни. В общем случае если уравнение связи не зависит от времени, то связь
называется стационарной.
33
тело абсолютно твердое, то расстояние между данными точками не меняется:
          √                                                   
    AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 = const = C1 
                                                              
          √
    BC = (x3 − x2 ) + (y3 − y2 ) + (z3 − z2 ) = const = C2 i = 3. (116)
                    2            2             2
          √                                                   
                                                              
    CA = (x1 − x3 )2 + (y1 − y3 )2 + (z1 − z3 )2 = const = C3

     Таким образом, любые три координаты из девяти можно выразить че-
рез остальные с помощью трех уравнений (116). Такие уравнения называют-
ся уравнениями связей, а сами ограничения, накладываемые на координаты,
скорости или ускорения точек системы, называются связями. Подчеркнем,
что ограничения должны носить геометрический или кинематический харак-
тер, но не динамический. Как правило, связи представляют из себя тела, с
которыми соприкасается объект при движении (поверхности, нити, шарниры
и т.п.). Связи уменьшают число степеней свободы системы.
                                                Если на систему не наложены
                        z                  связи, она называется свободной, ес-
              Vz                           ли наложены, то несвободной. Зна-
                                           чит твердое тело имеет s = 9 − 3 =
                            wz    Vy       = 6 степеней свободы. Отметим, что
                                           каждое независимое движение имеет
                        O          y
                             wy            одну степень свободы. В частности,
     Vx            wx
          x
                                           движение свободного твердого тела
                                           можно представить как сложное дви-
 Рис. 19. Сложное движение твердого тела
                                           жение, состоящее из трех поступа-
тельных движений вдоль осей декартовой системы координат со скоростя-
ми vx , vy , vz , и трех вращательных движений вокруг этих осей с угловыми
скоростями ωx , ωy , ωz (s = 6 = 3 пост + 3 вращ).
     Пример 4.1. Пусть материальная точка движется по поверхности сфе-
ры. Свободная материальная точка имеет три степени свободы. Поверхность
сферы представляет собой связь, уравнение которой f (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 −
R2 = 0 (R – радиус сферы). Следовательно, такая система имеет s = 3−1 = 2
степени свободы.
     В этом примере уравнение связи f (x, y, z) = 0 не зависит от време-
ни. В общем случае если уравнение связи не зависит от времени, то связь
называется стационарной.

                                                                             33

Страницы