Составители:
Рубрика:
Пример 4.2. Рассмотрим математический маятник, длина которого
меняется со временем l = l(t) и который совершает движение в плоскости
xOy. В этом случае уравнение связи будет иметь вид f(x, y, t) = x
2
+ y
2
−
− l
2
(t) = 0, а система будет иметь s = 2 − 1 = 1 степень свободы.
В этом примере уравнение связи f(x, y, t) = 0 зависит от времени. В
общем случае если уравнение связи явно зависит от времени, то связь назы-
вается нестационарной.
Пример 4.3. Пусть точка M
1
движется по заданному закону x
1
=
= f
1
(t), y
1
= f
2
(t), z
1
= f
3
(t), а точка M
2
должна двигаться так, чтобы в
любой момент времени ее скорость ⃗v
2
была направлена в точку M
1
. Приме-
ром такого движения является самонаводящаяся на цель ракета.
M
1
M
2
v
2
Рис. 20. Движение по программе движения.
Вектора ⃗v
2
= ˙x
2
⃗
i + ˙y
2
⃗
j + ˙z
2
⃗
k
и
⃗
M
1
M
2
= (x
2
− x
1
)
⃗
i + (y
2
− y
1
)
⃗
j +
+ (z
2
− z
1
)
⃗
k сонаправлены, следова-
тельно, их проекции на оси коорди-
нат должны быть пропорциональны
˙x
2
x
2
− x
1
=
˙y
2
y
2
− y
1
=
˙z
2
z
2
− z
1
= λ.
(117)
Отсюда получим
{
˙z
2
[x
2
− f
1
(t)] = ˙x
2
[z
2
− f
3
(t)],
˙y
2
[x
2
− f
1
(t)] = ˙x
2
[y
2
− f
2
(t)].
(118)
Следовательно, на уравнения движения точки M
2
наложены две связи, зави-
сящие от времени и от скорости.
Если связи накладывают ограничения и на координаты, и на скорости
точек, они называются неголономными (кинематическими) связями. Если
связь накладывает ограничение только на координаты точек, то связь назы-
вается голономной (геометрической). Таким образом, в последнем примере
на движение материальной точки наложены две нестационарные неголоном-
ные связи, а сами уравнения связи представляют собой программу движения
материальной точки.
Пример 4.4. Рассмотрим две материальные точки, связанные между
собой нерастяжимой нитью. Очевидно, что в этом случае уравнение связи
имеет вид f(x, y, z) = x
2
+ y
2
+ z
2
−l
2
≤ 0, то есть выражается неравенством.
34
Пример 4.2. Рассмотрим математический маятник, длина которого
меняется со временем l = l(t) и который совершает движение в плоскости
xOy. В этом случае уравнение связи будет иметь вид f (x, y, t) = x2 + y 2 −
− l2 (t) = 0, а система будет иметь s = 2 − 1 = 1 степень свободы.
В этом примере уравнение связи f (x, y, t) = 0 зависит от времени. В
общем случае если уравнение связи явно зависит от времени, то связь назы-
вается нестационарной.
Пример 4.3. Пусть точка M1 движется по заданному закону x1 =
= f1 (t), y1 = f2 (t), z1 = f3 (t), а точка M2 должна двигаться так, чтобы в
любой момент времени ее скорость ⃗v2 была направлена в точку M1 . Приме-
ром такого движения является самонаводящаяся на цель ракета.
Вектора ⃗v2 = ẋ2⃗i + ẏ2⃗j + ż2⃗k
и M1⃗M2 = (x2 − x1 )⃗i + (y2 − y1 )⃗j +
+ (z2 − z1 )⃗k сонаправлены, следова-
тельно, их проекции на оси коорди-
нат должны быть пропорциональны M1
ẋ2 ẏ2 ż2 v2
= = = λ.
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
(117) M2
Отсюда получим
{ Рис. 20. Движение по программе движения.
ż2 [x2 − f1 (t)] = ẋ2 [z2 − f3 (t)],
(118)
ẏ2 [x2 − f1 (t)] = ẋ2 [y2 − f2 (t)].
Следовательно, на уравнения движения точки M2 наложены две связи, зави-
сящие от времени и от скорости.
Если связи накладывают ограничения и на координаты, и на скорости
точек, они называются неголономными (кинематическими) связями. Если
связь накладывает ограничение только на координаты точек, то связь назы-
вается голономной (геометрической). Таким образом, в последнем примере
на движение материальной точки наложены две нестационарные неголоном-
ные связи, а сами уравнения связи представляют собой программу движения
материальной точки.
Пример 4.4. Рассмотрим две материальные точки, связанные между
собой нерастяжимой нитью. Очевидно, что в этом случае уравнение связи
имеет вид f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − l2 ≤ 0, то есть выражается неравенством.
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
