Кинематика. Шорохов А.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

где α – угол между векторами ⃗r и ∆⃗φ.
Очевидно, что движение любой точки твердого тела по окружности
будет определено, если будут заданы ориентация плоскости, в которой ле-
жит окружность, и направление поворота. Характеристикой, удовлетворяю-
щей этим двум требованиям, является вектор поворота ∆⃗φ (или бесконечно
малого поворота, если ориентация плоскости меняется), который направлен
вдоль оси вращения в ту сторону, чтобы поворот происходил против часовой
стрелки (правило буравчика). Заметим, что если ось вращения неподвижна,
то векторы ∆⃗φ, угловой скорости ⃗ω = d⃗φ/dt и углового ускорения ⃗ε = d⃗ω/dt
направлены одинаково.
С учетом вышесказанного, формулу (121) можно переписать и в век-
торном виде, заметив, что вектор ∆⃗r ортогонален как вектору ∆⃗φ, так и
вектору ⃗r:
∆⃗r = ∆⃗φ ×⃗r. (122)
Разделим обе части последнего равенства на ∆t и устремим ∆t к нулю.
В результате получим
⃗v =
d⃗r
dt
= ⃗ω ×⃗r. (123)
Найдем ускорение точек твердого тела при вращательном движении
вокруг оси:
⃗w =
d⃗v
dt
=
d
dt
(⃗ω ×⃗r) =
d⃗ω
dt
×⃗r + ω ×
d⃗r
dt
= ⃗ε ×⃗r + ⃗ω ×⃗v. (124)
Здесь ⃗w
τ
= ⃗ε×⃗r является тангенциальным ускорением, а ⃗w
n
– нормаль-
ным ускорением.
3. Углы Эйлера
Будем рассматривать движение твердого тела как сложное движение,
состоящее из движения какой-либо выбранной точки тела O (полюса) и дви-
жения остальных точек тела относительно полюса (как правило, в качестве
полюса удобно выбирать центр масс тела). Обозначим положение произволь-
ной точки M твердого тела в неподвижной системе координат x
1
y
1
z
1
посред-
ством
⃗
R, а в подвижной xyz посредством ⃗r (рис. 23).
37
где α – угол между векторами ⃗r и ∆⃗
                                   φ.
      Очевидно, что движение любой точки твердого тела по окружности
будет определено, если будут заданы ориентация плоскости, в которой ле-
жит окружность, и направление поворота. Характеристикой, удовлетворяю-
щей этим двум требованиям, является вектор поворота ∆⃗
                                                     φ (или бесконечно
малого поворота, если ориентация плоскости меняется), который направлен
вдоль оси вращения в ту сторону, чтобы поворот происходил против часовой
стрелки (правило буравчика). Заметим, что если ось вращения неподвижна,
то векторы ∆⃗
            φ, угловой скорости ω    φ/dt и углового ускорения ⃗ε = d⃗ω /dt
                                ⃗ = d⃗
направлены одинаково.
      С учетом вышесказанного, формулу (121) можно переписать и в век-
торном виде, заметив, что вектор ∆⃗r ортогонален как вектору ∆⃗
                                                              φ, так и
вектору ⃗r:

                                            φ × ⃗r.
                                     ∆⃗r = ∆⃗                                  (122)

      Разделим обе части последнего равенства на ∆t и устремим ∆t к нулю.
В результате получим
                                          d⃗r
                                   ⃗v =        ⃗ × ⃗r.
                                              =ω                               (123)
                                          dt
      Найдем ускорение точек твердого тела при вращательном движении
вокруг оси:
                   d⃗v  d            d⃗ω            d⃗r
              w
              ⃗=       = (⃗ω × ⃗r) =     × ⃗r + ω ×     = ⃗ε × ⃗r + ω
                                                                    ⃗ × ⃗v .   (124)
                   dt   dt           dt             dt
            ⃗ τ = ⃗ε ×⃗r является тангенциальным ускорением, а w
      Здесь w                                                  ⃗ n – нормаль-
ным ускорением.

      3. Углы Эйлера

     Будем рассматривать движение твердого тела как сложное движение,
состоящее из движения какой-либо выбранной точки тела O (полюса) и дви-
жения остальных точек тела относительно полюса (как правило, в качестве
полюса удобно выбирать центр масс тела). Обозначим положение произволь-
ной точки M твердого тела в неподвижной системе координат x1 y1 z1 посред-
      ⃗ а в подвижной xyz посредством ⃗r (рис. 23).
ством R,

                                                                                  37

Страницы