Кинематика. Шорохов А.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

φ (0 ≤ φ ≤ 2π) между ON и x
1
называется углом собственного вращения.
Направления углов Эйлера ψ, θ, φ определяется стандартным правилом вин-
та при повороте вокруг осей z
1
, ON и z, соответственно.
Как уже отмечалось ранее, движение твердого тела является слож-
ным движением, поэтому скорость любой точки твердого тела
⃗
V
1
может быть
представлена в виде суммы скорости поступательного движения центра масс
⃗
V и вращательного движения вокруг центра масс, которое задается скоро-
стью изменения углов Эйлера:
⃗
V
1
=
⃗
V +
⃗
Ω ×⃗r, (125)
где
⃗
Ω – угловая скорость вращения твердого тела, которая будет одинакова
для всех точек тела.
Выразим угловую скорость
⃗
Ω через углы Эйлера и их производные. Для
этого найдем проекции угловых скоростей
˙
⃗
ψ,
˙
⃗
θ,
˙
⃗φ на оси подвижной системы
координат. Угловая скорость
˙
⃗
ψ направлена вдоль оси z. Угловая скорость θ
направлена вдоль линии узлов и ее проекции на оси координат имеют вид
˙
θ
x
=
˙
θ cos ψ,
˙
θ
y
= −
˙
θ sin ψ,
˙
θ
z
= 0. (126)
Угловая скорость
˙
⃗φ направлена вдоль оси z
1
и ее проекции на оси ко-
ординат имеют вид
˙φ
x
= ˙φ sin θ sin ψ, ˙φ
y
= ˙φ sin θ cos ψ, ˙φ
z
= ˙φ cos θ. (127)
Таким образом, угловая скорость
⃗
Ω имеет следующие проекции на оси
подвижной системы:
Ω
x
= ˙φ sin θ sin ψ +
˙
θ cos ψ
Ω
y
= ˙φ sin θ cos ψ −
˙
θ sin ψ
Ω
z
= ˙φ cos θ +
˙
ψ.
(128)
Данные уравнения называются кинематическими уравнениями Эйлера.
φ (0 ≤ φ ≤ 2π) между ON и x1 называется углом собственного вращения.
Направления углов Эйлера ψ, θ, φ определяется стандартным правилом вин-
та при повороте вокруг осей z1 , ON и z, соответственно.
     Как уже отмечалось ранее, движение твердого тела является слож-
ным движением, поэтому скорость любой точки твердого тела V⃗1 может быть
представлена в виде суммы скорости поступательного движения центра масс
V⃗ и вращательного движения вокруг центра масс, которое задается скоро-
стью изменения углов Эйлера:

                                               ⃗ × ⃗r,
                                    V⃗1 = V⃗ + Ω                                  (125)

    ⃗ – угловая скорость вращения твердого тела, которая будет одинакова
где Ω
для всех точек тела.
      Выразим угловую скорость Ω⃗ через углы Эйлера и их производные. Для
этого найдем проекции угловых скоростей ψ,⃗˙ θ,
                                             ⃗˙ φ
                                                ⃗˙ на оси подвижной системы
                            ⃗˙ направлена вдоль оси z. Угловая скорость θ
координат. Угловая скорость ψ
направлена вдоль линии узлов и ее проекции на оси координат имеют вид

                    θ̇x = θ̇ cos ψ,     θ̇y = −θ̇ sin ψ,      θ̇z = 0.            (126)

                      ⃗˙ направлена вдоль оси z1 и ее проекции на оси ко-
     Угловая скорость φ
ординат имеют вид

            φ̇x = φ̇ sin θ sin ψ,     φ̇y = φ̇ sin θ cos ψ,     φ̇z = φ̇ cos θ.   (127)

                                     ⃗ имеет следующие проекции на оси
     Таким образом, угловая скорость Ω
подвижной системы:

                           Ωx = φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
                           Ωy = φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ                         (128)
                           Ωz = φ̇ cos θ + ψ̇.

Данные уравнения называются кинематическими уравнениями Эйлера.

Страницы