Кинематика. Шорохов А.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

3. Мгновенный центр скоростей
Докажем утверждение:
При движении плоской фигуры в каждый момент времени существу-
ет единственная точка, связанная с фигурой, скорость которой в данный
момент времени равна нулю.
Выберем произвольную точку A за полюс. Предположим, что су-
ществует такая точка P , мгновенная скорость которой равна нулю. Тогда
согласно формуле Эйлера (129)
⃗v
P
= 0 = ⃗v
A
+ ⃗ω ×
−→
P A. (130)
Распишем данное равенство в проекциях на оси координат. Пусть ось z
направлена перпендикулярно плоскости фигуры, тогда ⃗ω = ω
⃗
k, ⃗v
A
= ˙x
A
⃗
i +
+ ˙y
A
⃗
j, P A = (x
P
− x
A
)
⃗
i + (y
P
− y
A
)
⃗
j + (z
P
− z
A
)
⃗
k. Учтем, что
⃗ω ×
−→
P A =
⃗
i
⃗
j
⃗
k
0 0 ω
x
P
− x
A
y
P
− y
A
z
P
− z
A
= −(y
P
− y
A
)ω
⃗
i + (x
P
− x
A
)ω
⃗
j.
Тогда из (130) следует
x
P
− x
A
=
˙x
A
ω
, y
P
− y
A
= −
˙y
A
ω
, (131)
или в векторном виде
−→
P A =
⃗ω ×⃗v
A
ω
2
. (132)
Если в данный момент времени ω = 0 (мгновенно-поступательное движение),
то точка P , как следует из формулы (132), находится на бесконечности.
Таким образом точка P всегда может быть найдена по формуле (132),
что и доказывает наше утверждение.
Точку P принято называть мгновенным центром скоростей. Исполь-
зуя формулу ( 132), можно найти положение мгновенного центра скоростей,
если известны угловая скорость и скорость полюса. Для этого необходимо
сначала повернуть вектор ⃗v
A
на угол π/2 против часовой стрелки, смотря с
конца вектора ⃗v
A
, потом от точки A в направлении повернутого вектора ⃗v
A
отложить отрезок длиной v
A
/ω. Конец этого отрезка будет мгновенным цен-
тром скоростей P . Однако чаще всего вектор ω бывает неизвестен, при этом
43
      3. Мгновенный центр скоростей

      Докажем утверждение:
      При движении плоской фигуры в каждый момент времени существу-
ет единственная точка, связанная с фигурой, скорость которой в данный
момент времени равна нулю.
       Выберем произвольную точку A за полюс. Предположим, что су-
ществует такая точка P , мгновенная скорость которой равна нулю. Тогда
согласно формуле Эйлера (129)
                                                 −→
                                             ⃗ × P A.
                             ⃗vP = 0 = ⃗vA + ω                                 (130)

       Распишем данное равенство в проекциях на оси координат. Пусть ось z
направлена перпендикулярно плоскости фигуры, тогда ω           ⃗ = ω⃗k, ⃗vA = ẋA⃗i +
+ ẏA⃗j, P A = (xP − xA )⃗i + (yP − yA )⃗j + (zP − zA )⃗k. Учтем, что
                   ⃗i         ⃗j        ⃗k
      −→
  ⃗ × PA =
  ω                 0         0         ω      = −(yP − yA )ω⃗i + (xP − xA )ω⃗j.
                xP − xA yP − yA zP − zA
      Тогда из (130) следует
                                     ẋA              ẏA
                        xP − xA =        , yP − yA = − ,                       (131)
                                      ω                ω
или в векторном виде
                                   −→ ω ⃗ × ⃗vA
                                   PA =         .                              (132)
                                          ω2
Если в данный момент времени ω = 0 (мгновенно-поступательное движение),
то точка P , как следует из формулы (132), находится на бесконечности.
      Таким образом точка P всегда может быть найдена по формуле (132),
что и доказывает наше утверждение. 
      Точку P принято называть мгновенным центром скоростей. Исполь-
зуя формулу (132), можно найти положение мгновенного центра скоростей,
если известны угловая скорость и скорость полюса. Для этого необходимо
сначала повернуть вектор ⃗vA на угол π/2 против часовой стрелки, смотря с
конца вектора ⃗vA , потом от точки A в направлении повернутого вектора ⃗vA
отложить отрезок длиной vA /ω. Конец этого отрезка будет мгновенным цен-
тром скоростей P . Однако чаще всего вектор ω бывает неизвестен, при этом

                                                                                   43

Страницы