Кинематика. Шорохов А.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

бывают известны скорости хотя бы двух точек плоской фигуры. Рассмотрим
данный случай подробнее.
Выберем точку P в качестве полюса, тогда из формулы Эйлера для
любых точек фигуры A, B, C и т.д. следует (учитывая, что ⃗v
P
= 0)
⃗v
A
= ⃗ω ×
⃗
P A,
⃗v
B
= ⃗ω ×
⃗
P B,
⃗v
C
= ⃗ω ×
⃗
P C и т.д.
(133)
Следовательно, плоскопараллельное движение по распределению ско-
ростей можно представить как вращательное движение вокруг мгновенного
центра скоростей, то есть поворота вокруг оси z, проходящей через точку P .
Эту ось называют мгновенной осью вращения, а точку P – мгновенным цен-
тром вращения. Понятие мгновенной оси вращения, проходящей через точку
P , имеет смысл только для распределения скоростей, но не для ускорений,
поскольку для распределения ускорений необходимо знать два близких друг
к другу положения скоростей, а мгновенная ось меняет свое направление
как относительно тела, так и в пространстве. В процессе движения положе-
ние мгновенного центра скоростей меняется. Геометрическое место положе-
ний мгновенного центра на неподвижной плоскости называется неподвижной
центроидой, а геометрическое место положений мгновенного центра скоро-
стей в связанной с фигурой системе координат называется подвижной цен-
троидой. При этом при движении системы подвижная центроида катится
без скольжения по неподвижной. Например, при движении колеса (рис. 25а)
неподвижной центроидой будет прямая, по которой движется колесо, а по-
движной центроидой будет обод диска.
Вектор ⃗ω перпендикулярен плоскости фигуры (⃗ω ⊥
−→
AP , ⃗ω ⊥
−−→
BP и т.д.),
поэтому векторные произведения в (133) можно переписать в скалярном виде:
v
A
AP
=
v
B
BP
=
v
A
CP
= ... = ω. (134)
Данная формула дает правило вычисления скоростей точек плоской фигуры,
если известны величина угловой скорости вращения вокруг мгновенно центра
скоростей ω ≡ ω
p
и расстояние до центра.
Из формулы (133) также следует, что векторы скорости точек плос-
кой фигуры ортогональны векторам, соединяющим данную точку фигуры и
44
бывают известны скорости хотя бы двух точек плоской фигуры. Рассмотрим
данный случай подробнее.
     Выберем точку P в качестве полюса, тогда из формулы Эйлера для
любых точек фигуры A, B, C и т.д. следует (учитывая, что ⃗vP = 0)

                                 ⃗ × P⃗A,
                           ⃗vA = ω
                                 ⃗ × P⃗B,
                           ⃗vB = ω                                    (133)
                                 ⃗ × P⃗C
                           ⃗vC = ω          и т.д.

     Следовательно, плоскопараллельное движение по распределению ско-
ростей можно представить как вращательное движение вокруг мгновенного
центра скоростей, то есть поворота вокруг оси z, проходящей через точку P .
Эту ось называют мгновенной осью вращения, а точку P – мгновенным цен-
тром вращения. Понятие мгновенной оси вращения, проходящей через точку
P , имеет смысл только для распределения скоростей, но не для ускорений,
поскольку для распределения ускорений необходимо знать два близких друг
к другу положения скоростей, а мгновенная ось меняет свое направление
как относительно тела, так и в пространстве. В процессе движения положе-
ние мгновенного центра скоростей меняется. Геометрическое место положе-
ний мгновенного центра на неподвижной плоскости называется неподвижной
центроидой, а геометрическое место положений мгновенного центра скоро-
стей в связанной с фигурой системе координат называется подвижной цен-
троидой. При этом при движении системы подвижная центроида катится
без скольжения по неподвижной. Например, при движении колеса (рис. 25а)
неподвижной центроидой будет прямая, по которой движется колесо, а по-
движной центроидой будет обод диска.
                                                     −→       −−→
            ⃗ перпендикулярен плоскости фигуры (⃗ω ⊥ AP , ω
     Вектор ω                                             ⃗ ⊥ BP и т.д.),
поэтому векторные произведения в (133) можно переписать в скалярном виде:
                        vA   vB   vA
                           =    =    = ... = ω.                       (134)
                        AP   BP   CP
Данная формула дает правило вычисления скоростей точек плоской фигуры,
если известны величина угловой скорости вращения вокруг мгновенно центра
скоростей ω ≡ ωp и расстояние до центра.
     Из формулы (133) также следует, что векторы скорости точек плос-
кой фигуры ортогональны векторам, соединяющим данную точку фигуры и

44

Страницы