Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 31 стр.

                ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ
                   ОТ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ


                                   Основные понятия

      Задача определения стационарных состояний частицы массой m в поле U (x) сводится
к решению одномерного стационарного уравнения Шрёдингера

                               ~2 d2 ψ(x)
                           −              + U (x)ψ(x) = Eψ(x)                       (75)
                               2m dx2
с соответствующими граничными условиями.
      Условия, которым должна удовлетворять волновая функция ψ(x) определяются требо-
ванием непрерывности самой волновой функции и ее производной, даже в тех случаях, если
потенциальная энергия имеет точки разрыва. Исключением является случай, когда за некото-
рой областью потенциальная энергия обращается в бесконечность. В этом случае в области
пространства, куда частица не может проникнуть, волновая функция должна быть везде рав-
ной нулю ψ = 0. Производная же может иметь скачок.
      Из вида потенциальной энергии U (x) можно сделать некоторые заключения об энер-
гетическом спектре частицы. В частности, если потенциальная энергия стремится к конечным
пределам при x → ±∞, то энергетический спектр в области энергий min U (x) < En < U (±∞)
будет дискретным, в области E > min U (±∞) – непрерывным, а при E > max U (±∞) – дву-
кратно вырожденным. Заметим, что в одномерном случае энергетические уровни дискретного
спектра всегда невырождены.
      Если частица движется слева направо в поле с потенциальной энергией, которая моно-
тонно возрастает от одного постоянного предела U = U1 при x → −∞ к другому U = U2 при
x → ∞, то частица, в отличие от классической механики, даже при E > U2 может отразить-
ся от потенциальной стенки. В этом случае коэффициенты прохождения D(E) и отражения
R(E) определяются исходя из асимптотического поведения волновых функций при x → ±∞,
а именно, при x → ∞
                                    ψ(x) ≈ A(E)eik2 x ,                        (76)
         1 p
где k2 =    2m(E − U2 ).
         ~
       При x → −∞ асимптотика волновой функции имеет вид суммы падающей и отражен-
ной волны
                                ψ(x) ≈ eik1 x + B(E)e−ik1 x ,                       (77)
       1p
где k1 =  2m(E − U1 ).
       ~
      Амплитуды A(E) и B(E) определяют коэффициенты прохождения и отражения

                                       k2 2
                              D(E) =      |A| ,   R(E) = |B|2 .                     (78)
                                       k1