Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Примеры решения задач
Задача 3.1. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии плоского
ротатора с моментом инерции I. В состоянии с волновой функцией ψ = A cos
2
ϕ найти веро-
ятность различных значений проекции момента и его среднее значение.
Решение. Ротатором называется система, состоящая из двух жестко связанных друг с другом
частиц, вращающихся относительно центра масс.
a) Оператор Гамильтона для такой системы имеет вид
ˆ
H = ~
2
ˆ
L
2
z
/2I (в классическом
случае H = M
z
/2I, где M
z
– проекция момента ротатора на ось z). Оператор H коммутирует
с
ˆ
L
z
, следовательно
ˆ
H и
ˆ
L
z
имеют общий набор собственных функций, а так как собственные
функции
ˆ
L
z
известны, то можно сразу записать спектр и собственные функции H
E
m
=
~
2
m
2
2I
, ψ
m
=
1
√
2π
e
imϕ
, m = 0, ±1, ±2, ...
Видно, что все уровни двукратно вырождены, кроме уровня m = 0 (собственным функциям с
±m отвечает одна энергия, зависящая от m
2
).
b) Прежде всего найдем нормировочный множитель A из условия нормировки (2)
A
2
2π
Z
0
cos
2
ϕdϕ = 1.
Отсюда A
2
= 1/π.
Для нахождения вероятностей различных значений проекции момента воспользуемся
формулой w(m) = |hψ|ψ
m
i|
2
. Так как cos ϕ = (e
iϕ
+ e
−iϕ
)/2, то
w(m) =
1
8π
2π
Z
0
e
imϕ
e
iϕ
+ e
−iϕ
2
dϕ =
1
4
при m = ±2,
1
2
при m = 0,
0 в остальных случаях.
Задача 3.2. Записать оператор момента системы из двух частиц в виде суммы двух слагаемых,
соответствующих моменту относительного движения и моменту поступательного движения
системы как целого.
Решение. Оператор момента системы из двух частиц имеет вид
L = L
1
+ L
2
= −i~[r
1
× ∇
1
] − i~[r
2
× ∇
2
].
Перейдем в систему центра инерции, сделав замену переменных
r = r
1
− r
2
, r
1
= R −
m
2
r
m
1
+ m
2
,
R =
m
1
r
1
+ m
2
r
2
m
1
+ m
2
, r
2
= R +
m
1
r
m
1
+ m
2
.
                               МОМЕНТ ИМПУЛЬСА


                                 Примеры решения задач

Задача 3.1. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии плоского
ротатора с моментом инерции I. В состоянии с волновой функцией ψ = A cos2 ϕ найти веро-
ятность различных значений проекции момента и его среднее значение.
Решение. Ротатором называется система, состоящая из двух жестко связанных друг с другом
частиц, вращающихся относительно центра масс.
      a) Оператор Гамильтона для такой системы имеет вид Ĥ = ~2 L̂2z /2I (в классическом
случае H = Mz /2I, где Mz – проекция момента ротатора на ось z). Оператор H коммутирует
с L̂z , следовательно Ĥ и L̂z имеют общий набор собственных функций, а так как собственные
функции L̂z известны, то можно сразу записать спектр и собственные функции H
                             ~2 m2           1
                      Em =         ,   ψm = √ eimϕ , m = 0, ±1, ±2, ...
                              2I             2π
Видно, что все уровни двукратно вырождены, кроме уровня m = 0 (собственным функциям с
±m отвечает одна энергия, зависящая от m2 ).
      b) Прежде всего найдем нормировочный множитель A из условия нормировки (2)
                                            Z2π
                                        2
                                       A          cos2 ϕdϕ = 1.
                                            0

Отсюда A2 = 1/π.
      Для нахождения вероятностей различных значений проекции момента воспользуемся
формулой w(m) = |hψ|ψm i|2 . Так как cos ϕ = (eiϕ + e−iϕ )/2, то
                                                    
                                                      1
                                                     4 при m = ±2,
                                                    
                      Z2π                           
                    1                        2
                                                    
                           eimϕ eiϕ + e−iϕ dϕ = 12 при m = 0,
                                           
           w(m) =
                   8π                               
                                                    
                       0                            0 в остальных случаях.
                                                    

Задача 3.2. Записать оператор момента системы из двух частиц в виде суммы двух слагаемых,
соответствующих моменту относительного движения и моменту поступательного движения
системы как целого.
Решение. Оператор момента системы из двух частиц имеет вид

                        L = L1 + L2 = −i~[r1 × ∇1 ] − i~[r2 × ∇2 ].

Перейдем в систему центра инерции, сделав замену переменных
                                                        m2 r
                         r = r1 − r2 ,        r1 = R −         ,
                                                       m1 + m2
                              m1 r1 + m2 r2             m1 r
                         R=                 , r2 = R +         .
                                m1 + m2                m1 + m2

Страницы