Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 34 стр.

34                                                                Шорохов А.В., Пятаев М.А.

Тогда в новых переменных операторы ∇1 и ∇2 будут иметь вид
                                                         
                          m1                          m2
                 ∇1 =             ∇R − ∇ r , ∇1 =             ∇R + ∇r .
                        m1 + m2                     m1 + m2

Соответственно, оператор L можно записать в виде

                               L = −i~[r × ∇r ] − i~[R2 × ∇R ],

где первое слагаемое является оператором момента системы двух частиц в системе центра
инерции, а второе – оператором момента, связанного с движением центра масс.


                         Варианты индивидуального задания № 3

      1. Найти собственные функции операторов квадрата момента частицы и его проекции
на ось z в импульсном представлении.
      2. В состоянии частицы, характеризующимся угловой зависимостью волновой функ-
ции вида ψ = A cosn ϕ (ϕ – угол поворота относительно некоторой оси z, n – целое) найти
вероятность различных значений m проекции момента на ось z.
      3. Найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний пространствен-
ного ротатора с моментом инерции I. Какова кратность вырождения уровней?
      4. В состоянии ψlm с определенными значениями момента l и его проекции m на ось z
найти среднее значение проекции момента на ось z 0 , составляющую угол α с осью z.
      5. Частица находится в состоянии с моментом l = 1 и его проекцией m = 0, ±1 на ось
z. Найти вероятность ω(m0 , m) различных значений проекций момента m0 на ось z 0 , составля-
ющую угол α с осью z.
        6. Частица находится в состоянии с моментом импульса l = 1. Покажите, что операто-
ры Lx , Lˆ4x , Lˆ5x ,... выражаются через Lˆx и Lˆ2x .
   ˆ3

      7. У квантовой системы имеются интегралы движения Lz и L2 . Найти все другие инте-
гралы движения.
      8. Доказать, что момент импульса системы из двух частиц относительно их центра
инерции перпендикулярен к оси, проходящей через обе частицы.
      9. Записать L̂x в импульсном представлении.
      10. Доказать, что [L̂ × L̂] = i~L̂.
      11. Определить, при каких условиях Lz – интеграл движения.
      12. Показать, что энергетический спектр частицы с нулевым орбитальным моментом,
находящейся в сферически симметричной яме глубины U0 непрерывен, если E > U0 .
      13. Частица массы m движется в поле
                                       
                                       0, r > a,
                               U (r) =
                                       −V , r < a.
                                           0