Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Основные понятия
Оператором момента импульса частицы называется оператор, определяемый соотношением
ˆ
L = [r ×
ˆ
p], (79)
или в компонентах
ˆ
L
x
= yˆp
x
− xˆp
y
,
ˆ
L
y
= z ˆp
x
− xˆp
z
,
ˆ
L
z
= xˆp
y
− yˆp
x
. (80)
Для операторов проекций момента будут справедливы следующие коммутационные соотно-
шения
[
ˆ
L
x
,
ˆ
L
y
] = i~
ˆ
L
z
, [
ˆ
L
z
,
ˆ
L
x
] = i~
ˆ
L
y
, [
ˆ
L
y
,
ˆ
L
z
] = i~
ˆ
L
x
. (81)
Из приведенных выражений видно, что три компоненты импульса одновременно не измеримы.
Оператор квадрата момента импульса определяется соотношением
ˆ
L
2
=
ˆ
L
2
x
+
ˆ
L
2
y
+
ˆ
L
2
z
. (82)
При этом
ˆ
L
2
коммутирует с операторами
ˆ
L
x
,
ˆ
L
y
,
ˆ
L
z
. Вместо операторов
ˆ
L
x
и
ˆ
L
y
иногда удобнее
ввести операторы
ˆ
L
+
и
ˆ
L
−
ˆ
L
+
=
ˆ
L
x
+ i
ˆ
L
y
,
ˆ
L
−
=
ˆ
L
x
− i
ˆ
L
y
. (83)
Для операторов
ˆ
L
+
и
ˆ
L
−
справедливы следующие коммутационные соотношения
[
ˆ
L
+
,
ˆ
L
−
] = 2~
ˆ
L
z
, [
ˆ
L
z
,
ˆ
L
+
] = ~
ˆ
L
+
, [
ˆ
L
z
,
ˆ
L
−
] = −~
ˆ
L
−
. (84)
Часто удобно пользоваться операторами момента, записанными в сферических координатах
ˆ
L
x
= −i~
sin ϕ
∂
∂θ
+ ctg θ cos ϕ
∂
∂ϕ
, (85)
ˆ
L
y
= −i~
cos ϕ
∂
∂θ
− ctg θ sin ϕ
∂
∂ϕ
, (86)
ˆ
L
z
= −i~
∂
∂ϕ
, (87)
ˆ
L
2
= −~
2
∇
2
θ,ϕ
= −~
2
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
+
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ

. (88)
Собственные значения оператора
ˆ
L
z
равны целым числам (в единицах ~)
L
z
= ~m, m = 0, ±1, ±2, ... (89)
                                        МОМЕНТ ИМПУЛЬСА


                                               Основные понятия

Оператором момента импульса частицы называется оператор, определяемый соотношением

                                                      L̂ = [r × p̂],                               (79)

или в компонентах

                         L̂x = y p̂x − xp̂y , L̂y = z p̂x − xp̂z , L̂z = xp̂y − y p̂x .            (80)

Для операторов проекций момента будут справедливы следующие коммутационные соотно-
шения
                         [L̂x , L̂y ] = i~L̂z , [L̂z , L̂x ] = i~L̂y , [L̂y , L̂z ] = i~L̂x .      (81)

Из приведенных выражений видно, что три компоненты импульса одновременно не измеримы.
Оператор квадрата момента импульса определяется соотношением

                                                L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z .                         (82)

При этом L̂2 коммутирует с операторами L̂x , L̂y , L̂z . Вместо операторов L̂x и L̂y иногда удобнее
ввести операторы L̂+ и L̂−

                                      L̂+ = L̂x + iL̂y , L̂− = L̂x − iL̂y .                        (83)

Для операторов L̂+ и L̂− справедливы следующие коммутационные соотношения

                     [L̂+ , L̂− ] = 2~L̂z , [L̂z , L̂+ ] = ~L̂+ , [L̂z , L̂− ] = −~L̂− .           (84)

Часто удобно пользоваться операторами момента, записанными в сферических координатах
                                                         
                                        ∂               ∂
                         L̂x = −i~ sin ϕ + ctg θ cos ϕ      ,                    (85)
                                        ∂θ             ∂ϕ
                                                         
                                         ∂              ∂
                         L̂y = −i~ cos ϕ − ctg θ sin ϕ      ,                    (86)
                                        ∂θ             ∂ϕ
                                                                   ∂
                                                      L̂z = −i~      ,                             (87)
                                                                  ∂ϕ
                                                            1 ∂2
                                                                                          
                     2          2                                        1 ∂             ∂
                    L̂ = −~         ∇2θ,ϕ   = −~  2
                                                             2     2
                                                                     +             sin θ       .   (88)
                                                          sin θ ∂ϕ     sin θ ∂θ          ∂θ
Собственные значения оператора L̂z равны целым числам (в единицах ~)

                                            Lz = ~m, m = 0, ±1, ±2, ...                            (89)

Страницы