Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Примеры решения задач
Задача 4.1. Для электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоянии, найти ве-
роятность того, что импульс электрона будет заключен по абсолютной величине между p и
p + dp.
Решение. Волновая функция электрона в основном состоянии имеет вид
ψ(r) =
1
√
πa
3
e
−r/a
.
Принимая во внимание, что собственная функция оператора импульса имеет вид
ψ
p
(r) =
1
(2π~)
3/2
e
−ipr/~
,
найдем волновую функцию электрона в импульсном представлении
C(p) =
1
(2π~)
3/2
Z
ψ(r)e
−ipr/~
dV =
1
(2π~)
3/2
√
πa
3
Z
e
−ipr/~−r/a
dV.
Вычисление интеграла удобно вести в сферических координатах, направив полярную ось вдоль
p.
Z
e
−ipr/~−r/a
dV = 2π
∞
Z
0
r
2
dr
1
Z
−1
e
−ipr cos θ/~−r/a
d cos θ =
2π
~
ip
∞
Z
0
e
−(1/a−ip/~)r
− e
−(1/a+ip/~)r
rdr =
8πa
3
~
4
(~
2
+ a
2
p
2
)
2
. (93)
Таким образом, для плотности вероятности, что импульс электрона заключен в интервале
(p, p + dp), получим
|C(p)|
2
=
8a
3
~
5
π
2
(~
2
+ a
2
p
2
)
4
.
Интегрируя по всем направлениям импульса, находим следующее выражение для вероятно-
сти того, что импульс электрона заключен по абсолютной величине между p и p + dp
W (p)dp =
32a
3
~
5
p
2
π(~
2
+ a
2
p
2
)
4
dp.
Задача 4.2. Найти энергетические уровни частицы, находящейся в бесконечно глубокой сфе-
рической потенциальной яме радиуса R.
Решение. Воспользуемся уравнением
−
~
2
2m
d
2
dr
2
+
~
2
l(l + 1)
2mr
2
+ U(r)
χ(r) = Eχ(r) (94)
                       ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ


                                        Примеры решения задач

Задача 4.1. Для электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоянии, найти ве-
роятность того, что импульс электрона будет заключен по абсолютной величине между p и
p + dp.
Решение. Волновая функция электрона в основном состоянии имеет вид
                                                            1
                                            ψ(r) = √              e−r/a .
                                                            πa3
Принимая во внимание, что собственная функция оператора импульса имеет вид
                                                        1
                                          ψp (r) =            e−ipr/~ ,
                                                     (2π~)3/2
найдем волновую функцию электрона в импульсном представлении
                            Z                                   Z
                      1             −ipr/~             1
            C(p) =            ψ(r)e        dV =           √       e−ipr/~−r/a dV.
                   (2π~)3/2                     (2π~) 3/2   πa3


Вычисление интеграла удобно вести в сферических координатах, направив полярную ось вдоль
p.
                 Z                             Z∞           Z1
                      e−ipr/~−r/a dV = 2π           r2 dr        e−ipr cos θ/~−r/a d cos θ =
                                               0            −1
                           Z∞
                      ~          −(1/a−ip/~)r                                 8πa3 ~4
                                               − e−(1/a+ip/~)r rdr =
                                                              
                 2π              e                                                          .   (93)
                      ip                                                     (~2 + a2 p2 )2
                           0

Таким образом, для плотности вероятности, что импульс электрона заключен в интервале
(p, p + dp), получим
                                                            8a3 ~5
                                         |C(p)|2 =                       .
                                                      π 2 (~2 + a2 p2 )4
Интегрируя по всем направлениям импульса, находим следующее выражение для вероятно-
сти того, что импульс электрона заключен по абсолютной величине между p и p + dp

                                                    32a3 ~5 p2
                                        W (p)dp =                 dp.
                                                  π(~2 + a2 p2 )4
Задача 4.2. Найти энергетические уровни частицы, находящейся в бесконечно глубокой сфе-
рической потенциальной яме радиуса R.
Решение. Воспользуемся уравнением

                         ~2 d2    ~2 l(l + 1)
                                                    
                       −        +             + U (r) χ(r) = Eχ(r)                              (94)
                         2m dr2     2mr2

Страницы