Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева 39
для нахождения радиальной части волновой функции, учтя, что U(r) = 0
−
~
2
2m
d
2
dr
2
+
~
2
l(l + 1)
2mr
2
χ(r) = Eχ(r).
При этом радиальная волновая функция должна равняться нулю при r > R. Введем новую
переменную z = kr (k
2
= 2mE/~
2
) и сделаем замену χ(r) =
√
zϕ(z), тогда предыдущее
уравнение приводится к виду
d
2
ϕ
dz
2
+
1
z
dϕ
dz
+
1 −
(l + 1/2)
2
z
2
ϕ = 0.
Решением этого уравнения являются функции Бесселя J
±(l+1/2)
(z). Следовательно,
χ(r) =
r
πkr
2
c
1
J
l+1/2
(kr) + c
2
J
−(l+1/2)
(kr)
.
Второе слагаемое при r → ∞ дает вклад в χ ∼ r
−l
, следовательно, чтобы обеспечить су-
ществование нормировочного интеграла, необходимо положить c
2
= 0. Эти рассуждения не
применимы к случаю l = 0, однако при l = 0 возникает расходимость интеграла для среднего
значения энергии и мы опять должны положить c
2
= 0. Таким образом, радиальная волновая
функция имеет вид
χ(r) = c
1
r
πkr
2
J
l+1/2
(kr).
Чтобы найти собственные значения энергии, необходимо наложить граничное условие χ(R) =
0, откуда получим
J
l+1/2
(kR) = 0.
Для каждого фиксированного l это уравнение имеет бесконечное число корней k
n
r
,l
и соот-
ветственно мы имеем бесконечное число энергетических уровней
E
n
r
,l
=
~
2
2m
k
2
n
r
,l
для каждого значения l (n
r
= 1, 2, 3... – радиальное квантовое число).
Варианты индивидуального задания № 4
1. Найти энергетические уровни и волновые функции стационарных состояний частицы
в бесконечно глубокой двумерной потенциальной яме
U(x) =
0, |r| ≤ a,
∞, |r| > a.
2. Найти энергетические уровни дискретного спектра частицы в двумерной потенци-
альной яме
U(x) =
−U
0
, |r| ≤ a,
0, |r| > a.
Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                            39

для нахождения радиальной части волновой функции, учтя, что U (r) = 0
                            ~2 d2    ~2 l(l + 1)
                                                
                          −        +               χ(r) = Eχ(r).
                            2m dr2     2mr2
При этом радиальная волновая функция должна равняться нулю при r > R. Введем новую
                                                          √
переменную z = kr (k 2 = 2mE/~2 ) и сделаем замену χ(r) = zϕ(z), тогда предыдущее
уравнение приводится к виду
                            d2 ϕ 1 dϕ        (l + 1/2)2
                                                       
                                 +      + 1−              ϕ = 0.
                            dz 2   z dz          z2
Решением этого уравнения являются функции Бесселя J±(l+1/2) (z). Следовательно,
                            r
                              πkr                                   
                     χ(r) =        c1 Jl+1/2 (kr) + c2 J−(l+1/2) (kr) .
                               2
Второе слагаемое при r → ∞ дает вклад в χ ∼ r−l , следовательно, чтобы обеспечить су-
ществование нормировочного интеграла, необходимо положить c2 = 0. Эти рассуждения не
применимы к случаю l = 0, однако при l = 0 возникает расходимость интеграла для среднего
значения энергии и мы опять должны положить c2 = 0. Таким образом, радиальная волновая
функция имеет вид                            r
                                           πkr
                                 χ(r) = c1     Jl+1/2 (kr).
                                            2
Чтобы найти собственные значения энергии, необходимо наложить граничное условие χ(R) =
0, откуда получим
                                       Jl+1/2 (kR) = 0.
Для каждого фиксированного l это уравнение имеет бесконечное число корней knr ,l и соот-
ветственно мы имеем бесконечное число энергетических уровней
                                                  ~2 2
                                       Enr ,l =     k
                                                  2m nr ,l
для каждого значения l (nr = 1, 2, 3... – радиальное квантовое число).


                        Варианты индивидуального задания № 4

      1. Найти энергетические уровни и волновые функции стационарных состояний частицы
в бесконечно глубокой двумерной потенциальной яме
                                        
                                        0, |r| ≤ a,
                                U (x) =
                                        ∞, |r| > a.

      2. Найти энергетические уровни дискретного спектра частицы в двумерной потенци-
альной яме                               
                                         −U , |r| ≤ a,
                                             0
                                 U (x) =
                                         0, |r| > a.

Страницы