Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 35 стр.

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                                       35

Найти наименьшее значение V0 , при котором имеется состояние точечного спектра с нулевы-
ми энергией и моментом импульса.
       14. Доказать, что [L̂2 , L̂2x ] = 0.
       15. Плоский ротатор находится в состоянии Ψ = A sin2 φ. Найти для него hLz i.
       16. Найти коммутатор [L̂i , (L̂1 L̂2 )], где L̂1 , L̂2 –операторы моментов двух частиц, L̂ =
L̂1 + L̂2 –оператор их суммарного момента.
       17. Доказать соотношение [L̂x , p̂z ] = −i~p̂y .
       18. Доказать, что в состоянии ψ = Φ(ϕ) с Lz = ~m имеет место равенство

                                                                i~2 m
                                        hLx Ly + Ly Lx i =            .
                                                                  2

       19. Вычислить [L̂y , x̂].
       20. В состоянии частицы с моментом импульса l = 1 и проекцией момента m на ось z
найти следующие средние hLnx i, hLny i (n ∈ Z).
       21. В состоянии ψ = Ylm (ϕ, θ) найти hL2x i.
       22. Доказать соотношение
                                       k
                                       X                        2k + 1
                                              |Ylk (ϕ, θ)|2 =          .
                                       l=−k
                                                                  4π

       23. Состояние ψlm (r) = x2 + y 2 − 2z 2 является собственной функцией L̂2 и L̂z . Найти
собственную функцию с тем же собственным числом l, но максимальным собственным числом
оператора L̂z .
       24. Доказать, что ψlm (r) = x2 +y 2 −2z 2 является собственной функцией L̂2 и L̂z . Найти
собственные числа L̂2 и L̂z в этом состоянии.
       25. Доказать, что состояние ψlm (r) = −(x + y)2 является собственной функцией L̂2 и
L̂z . Найти собственные числа L̂2 и L̂z в этом состоянии.
       26. Найти среднее значение hL2 i в состоянии ψ(θ, ϕ) = A sin θ cos ϕ.
       27. Показать, что в состоянии с определенным значением Lz = m, среднее значение
hLx i = hLy i = 0.
       28. Моменты L1 и L2 двух слабо взаимодействующих систем складываются в резуль-
тирующий момент величины L. Показать, что в таких состояниях (с определенным значением
L) скалярные произведения L1 L2 , L1 L, L1 L также имеют определенные значения.
       29. Две системы, имеющие одинаковые моменты l, находятся в состоянии с определен-
ным значением L суммарного момента, равным L = 2l − 1 и проекцией суммарного момента
на ось z, равной M = 2l − 1. Найти вероятность различных значений проекций складываемых
моментов на ось z в рассматриваемом состоянии.
       30. Произвести классификацию возможных состояний системы, состоящей из трех
слабо взаимодействующих подсистем с моментами l1 = l2 = 1 и l3 = l по значениям сум-
марного момента L системы.