Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Основные понятия
Методы теории возмущений основаны на возможности представления гамильтониана
системы в виде
ˆ
H =
ˆ
H
0
+
ˆ
V , где
ˆ
V представляет собой малую поправку к оператору
ˆ
H
0
.
Рассмотрим, как применяются методы теории возмущений в нескольких важных случаях.
1) Возмущение не зависит от времени. Предположим, что нам известны собствен-
ные функции Ψ
(0)
n
и собственные значения E
(0)
n
невозмущенного гамильтониана
ˆ
H
0
. Тогда соб-
ственные значения и собственные функции оператора
ˆ
H можно записать по степеням крат-
ности возмущения
E
n
= E
(0)
n
+ E
(1)
n
+ E
(2)
n
+ ...; Ψ
n
=
X
m
c
nm
Ψ
(0)
m
, c
nm
= c
(0)
nm
+ c
(1)
nm
+ ... (107)
Если невозмущенный уровень E
(0)
n
не вырожден, то первые две поправки к энергии имеют вид
E
(1)
n
= hΨ
(0)
n
|
ˆ
V |Ψ
(0)
n
i, E
(2)
n
=
X
m6=n
|hΨ
(0)
m
|
ˆ
V |Ψ
(0)
n
i|
2
E
(0)
n
− E
(0)
m
. (108)
Таким образом, поправка первого приближения E
(1)
n
к собственному значению E
(0)
n
равна
среднему значению возмущения в состоянии Ψ
(0)
n
. Заметим также, что поправка второго при-
ближения для основного состояния E
(2)
0
всегда отрицательна.
Поправки к собственной функции находятся из следующих соотношений
c
(0)
nk
= δ
nk
, c
(1)
nn
= 0, c
(1)
nk
=
hΨ
(0)
k
|
ˆ
V |Ψ
(0)
n
i
E
(0)
n
− E
(0)
k
, k 6= n, (109)
где δ
nk
– δ-символ Кронекера.
Вышеприведенные результаты применимы в случае, если
|hΨ
(0)
k
|
ˆ
V |Ψ
(0)
n
i| |E
(0)
n
− E
(0)
k
|, (110)
т.е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими
разностями невозмущенных уровней энергии.
Если невозмущенный уровень E
(0)
n
является s-кратно вырожденным и ему отвечают
взаимно ортогональные собственные функции Ψ
(0)
nα
, где α = 1, 2, ...s, то правильные функции
нулевого приближения Ψ
n
=
P
α
c
(0)
α
Ψ
(0)
nα
и соответствующие сдвиги уровней E
(1)
n
определя-
ются из системы уравнений
X
β
(hΨ
(0)
nα
|
ˆ
V |Ψ
(0)
nβ
i −E
(1)
n
δ
αβ
)c
(0)
β
= 0. (111)
                                 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ



                                              Основные понятия

      Методы теории возмущений основаны на возможности представления гамильтониана
системы в виде Ĥ = Ĥ0 + V̂ , где V̂ представляет собой малую поправку к оператору Ĥ0 .
Рассмотрим, как применяются методы теории возмущений в нескольких важных случаях.
      1) Возмущение не зависит от времени. Предположим, что нам известны собствен-
              (0)                                              (0)
ные функции Ψn и собственные значения En невозмущенного гамильтониана Ĥ0 . Тогда соб-
ственные значения и собственные функции оператора Ĥ можно записать по степеням крат-
ности возмущения
                                                                     X
          En = En(0) + En(1) + En(2) + ...; Ψn =                              cnm Ψ(0)        (0)   (1)
                                                                                   m , cnm = cnm + cnm + ...         (107)
                                                                        m

                                      (0)
Если невозмущенный уровень En не вырожден, то первые две поправки к энергии имеют вид

                                                                              X |hΨ(0)     (0) 2
                                                                                   m |V̂ |Ψn i|
                     En(1)   =   hΨ(0)
                                   n |V̂      |Ψ(0)
                                                n i,            En(2)   =              (0)       (0)
                                                                                                         .           (108)
                                                                              m6=n   En − Em

                                                                              (1)                              (0)
Таким образом, поправка первого приближения En к собственному значению En равна
                                                                     (0)
среднему значению возмущения в состоянии Ψn . Заметим также, что поправка второго при-
                                                  (2)
ближения для основного состояния E0 всегда отрицательна.
      Поправки к собственной функции находятся из следующих соотношений
                                                                               (0)     (0)
                       (0)                                     (1)         hΨk |V̂ |Ψn i
                      cnk    = δnk ,    c(1)
                                         nn       = 0,        cnk    =         (0)     (0)
                                                                                             , k 6= n,               (109)
                                                                            En − Ek

где δnk – δ-символ Кронекера.
      Вышеприведенные результаты применимы в случае, если

                                            (0)                                      (0)
                                      |hΨk |V̂ |Ψ(0)      (0)
                                                 n i|  |En − Ek |,                                                  (110)

т.е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими
разностями невозмущенных уровней энергии.
                                                        (0)
      Если невозмущенный уровень En является s-кратно вырожденным и ему отвечают
                                                                        (0)
взаимно ортогональные собственные функции Ψnα , где α = 1, 2, ...s, то правильные функции
                           P (0) (0)                                          (1)
нулевого приближения Ψn = α cα Ψnα и соответствующие сдвиги уровней En определя-
ются из системы уравнений
                                 X                            (0)                    (0)
                                      (hΨ(0)              (1)
                                         nα |V̂ |Ψnβ i − En δαβ )cβ = 0.                                             (111)
                                  β

Страницы