Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

50 Шорохов А.В., Пятаев М.А.
Условие совместности системы дает следующее уравнение, которое называют секулярным
уравнением
|hΨ
(0)
nα
|
ˆ
V |Ψ
(0)
nβ
i −E
(1)
n
δ
αβ
)| = 0. (112)
Это уравнение имеет в общем случае s корней, определяющих поправки первого приближения
к энергии. Заметим, что в результате действия возмущения уровень, в общем случае, перестает
быть вырожденным. Снятие вырождения может быть как полным (уровень расщепляется на
s уровней), так и частичным.
2) Возмущение зависит от времени. В этом случае говорить о поправках к энергии
нельзя, так как, если гамильтониан
ˆ
H =
ˆ
H
0
+
ˆ
V (t) зависит от времени, энергия не сохраня-
ется. Поэтому задача состоит в приближенном вычислении волновых функций нестационар-
ных состояний, которые можно разложить по волновым функциям стационарных состояний
(предполагается, что до начала действия возмущения система находилась в n-ом состоянии
дискретного спектра)
Ψ(t) =
X
k
a
kn
(t) exp
(
−
iE
(0)
k
t
~
)
Ψ
(0)
k
, (113)
где коэффициент a
kn
может быть представлен в виде
a
kn
= a
(0)
kn
+ a
(1)
kn
+ ... (114)
Считая, что
ˆ
V (t) → 0 при t → −∞, получим
a
(0)
kn
= δ
kn
, a
(1)
kn
= −
i
~
t
Z
−∞
V
kn
e
iω
kn
t
dt, (115)
где ω
kn
= (E
(0)
k
− E
(0)
n
)/~, а V
kn
= hΨ
(0)
k
|
ˆ
V (t)|Ψ
(0)
n
i.
Если возмущение исчезает при t → ∞, то a
(1)
kn
(t = ∞) определяет в первом порядке
теории возмущений вероятность W
kn
перехода системы из начального n-го в конечное k-е
(k 6= n) состояние за все время его действия
W
kn
=
1
~
2
∞
Z
−∞
V
kn
e
iω
kn
t
dt
2
. (116)
Особо важную роль играет периодическое по времени возмущение
ˆ
V (t) вида
ˆ
V (t) =
ˆ
F e
iωt
+
ˆ
F
+
e
−iωt
, где
ˆ
F – оператор, не зависящий от времени. В этом случае вероятность пе-
рехода в единицу времени из начального E
i
-го состояния в близкие конечные E
f
-состояния
непрерывного спектра определяется золотым правилом Ферми
dW
if
=
2π
~
|F
fi
|δ(E
i
− E
f
− ~ω)dν
f
. (117)
Здесь dν
f
– число состояний непрерывного спектра, F
fi
– матричный элемент оператора
ˆ
F .
50                                                                                               Шорохов А.В., Пятаев М.А.

Условие совместности системы дает следующее уравнение, которое называют секулярным
уравнением
                                                      (0)
                                          |hΨ(0)              (1)
                                             nα |V̂ |Ψnβ i − En δαβ )| = 0.                                          (112)

Это уравнение имеет в общем случае s корней, определяющих поправки первого приближения
к энергии. Заметим, что в результате действия возмущения уровень, в общем случае, перестает
быть вырожденным. Снятие вырождения может быть как полным (уровень расщепляется на
s уровней), так и частичным.
              2) Возмущение зависит от времени. В этом случае говорить о поправках к энергии
нельзя, так как, если гамильтониан Ĥ = Ĥ0 + V̂ (t) зависит от времени, энергия не сохраня-
ется. Поэтому задача состоит в приближенном вычислении волновых функций нестационар-
ных состояний, которые можно разложить по волновым функциям стационарных состояний
(предполагается, что до начала действия возмущения система находилась в n-ом состоянии
дискретного спектра)                                                 (                )
                                                                                (0)
                                             X                   iE t                      (0)
                                   Ψ(t) =           akn (t) exp − k                       Ψk ,                       (113)
                                               k
                                                                   ~
где коэффициент akn может быть представлен в виде

                                                         (0)         (1)
                                               akn = akn + akn + ...                                                 (114)

Считая, что V̂ (t) → 0 при t → −∞, получим

                                                                         Zt
                                    (0)               (1)      i
                                   akn    = δkn ,    akn    =−                 Vkn eiωkn t dt,                       (115)
                                                               ~
                                                                     −∞

                    (0)   (0)                  (0)             (0)
где ωkn = (Ek − En )/~, а Vkn = hΨk |V̂ (t)|Ψn i.
                                                                         (1)
              Если возмущение исчезает при t → ∞, то akn (t = ∞) определяет в первом порядке
теории возмущений вероятность Wkn перехода системы из начального n-го в конечное k-е
(k 6= n) состояние за все время его действия
                                                                                      2
                                                            Z∞
                                                     1
                                           Wkn     = 2           Vkn eiωkn t dt .                                    (116)
                                                    ~
                                                         −∞


              Особо важную роль играет периодическое по времени возмущение V̂ (t) вида V̂ (t) =
F̂ e   iωt
             + F̂ + e−iωt , где F̂ – оператор, не зависящий от времени. В этом случае вероятность пе-
рехода в единицу времени из начального Ei -го состояния в близкие конечные Ef -состояния
непрерывного спектра определяется золотым правилом Ферми
                                                 2π
                                    dWif =          |Ff i |δ(Ei − Ef − ~ω)dνf .                                      (117)
                                                  ~

Здесь dνf – число состояний непрерывного спектра, Ff i – матричный элемент оператора F̂ .

Страницы