Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ.
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Примеры решения задач
Задача 6.1. В квазиклассическом приближении найти энергетический спектр гармонического
осциллятора.
Решение. Потенциальная энергия в этом случае удовлетворяет условиям квантования Бора-
Зоммерфельда
1
~
b
Z
a
s
2m
E
n
−
mω
2
x
2
2
dx = π
n +
1
2
, n = 0, 1, ...
Пределы интегрирования определяются из соотношения E
n
= mω
2
x
2
/2, откуда b = −a =
p
2E/mω
2
. Вычислим интеграл
2
√
2m
~
√
2E
n
/mω
2
Z
0
r
E
n
−
mω
2
x
2
2
dx =
2mω
~
√
2E
n
/mω
2
Z
0
r
2E
n
mω
2
− x
2
dx =
πE
n
~ω
.
Отсюда получим выражение для энергетического спектра осциллятора
E
n
= ~ω
n +
1
2
, n = 0, 1, ...
которое совпадает с точным результатом.
Задача 6.2. Найти в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния
σ
B
для потенциала U(r) = U
0
exp(−αr).
Решение. Воспользуемся формулой
f
B
(q) = −
2m
~
2
∞
Z
0
U(r)
sin(qr)
q
rdr (118)
для амплитуды рассеяния в центральном поле
f
B
(q) = −
2m
~
2
∞
Z
0
U
0
e
−αr
sin(qr)
q
rdr.
Вводя безразмерные величины
D =
2mU
0
r
2
0
~
2
, x
0
= kr
0
,
амплитуду рассеяния можно записать в виде (учтя, что q = 2k sin(θ/2))
f
B
(θ) =
D
q
∞
Z
0
xe
−x
sin(q
0
x)dx.
                 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ.
                        ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ


                                    Примеры решения задач

Задача 6.1. В квазиклассическом приближении найти энергетический спектр гармонического
осциллятора.
Решение. Потенциальная энергия в этом случае удовлетворяет условиям квантования Бора-
Зоммерфельда
                       Zb s                            
                  1                mω 2 x2              1
                           2m En −           dx = π n +     , n = 0, 1, ...
                  ~                  2                  2
                       a

Пределы интегрирования определяются из соотношения En = mω 2 x2 /2, откуда b = −a =
p
 2E/mω 2 . Вычислим интеграл
              √                                √
         √      2En /mω 2r                       2En /mω 2r
                                  2 2
                 Z                                Z
        2 2m                   mω x        2mω              2En            πEn
                          En −        dx =                     2
                                                                 − x2 dx =     .
           ~                     2          ~               mω              ~ω
                   0                                                 0

Отсюда получим выражение для энергетического спектра осциллятора
                                          
                                         1
                           En = ~ω n +       , n = 0, 1, ...
                                         2
которое совпадает с точным результатом.
      Задача 6.2. Найти в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния
 B
σ для потенциала U (r) = U0 exp(−αr).
Решение. Воспользуемся формулой
                                                     Z∞
                                           2m                     sin(qr)
                                f B (q) = − 2             U (r)           rdr     (118)
                                           ~                         q
                                                     0

для амплитуды рассеяния в центральном поле
                                                 Z∞
                                       2m                          sin(qr)
                                B
                              f (q) = − 2                U0 e−αr           rdr.
                                       ~                              q
                                                 0

Вводя безразмерные величины
                                             2mU0 r02
                                        D=            , x0 = kr0 ,
                                               ~2
амплитуду рассеяния можно записать в виде (учтя, что q = 2k sin(θ/2))
                                                Z∞
                                         D
                                    B
                                 f (θ) =             xe−x sin(q0 x)dx.
                                         q
                                                 0

Страницы