Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ.
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Квазиклассическое приближение
Если де-бройлевская длина волны частицы мала по сравнению с характерными разме-
рами системы, то ее свойства близки к классическим. Математически условие применимости
квазиклассического приближения предполагает выполнение неравенства
dλ
dx
≡
m~|F |
p
3
(x)
1, (119)
где λ = ~/p(x), p(x) =
p
2m(E − U(x)) – классический импульс частицы, F = −dU/dx –
классическая сила, действующая на частицу во внешнем поле.
Из (119) следует, что одним из условий применимости квазиклассического приближе-
ния является немалость импульса частицы. Это означает, что данное приближение не приме-
нимо вблизи классических точек поворота частицы (т.е. точек, где E = U(x)).
Два линейно независимых решения уравнения Шрёдингера в квазиклассическом при-
ближении имеют вид
Ψ
±
E
(x) =
1
p
p(x)
exp
±
i
~
x
Z
c
p(x)dx
. (120)
Однако, часто возникает вопрос о сшивании волновых функций вблизи точек, где квазиклас-
сическое приближение не применимо (например, вблизи точек поворота). Существует несколь-
ко возможных вариантов сшивания, которые дают нижеприведенные выражения для волно-
вых функций слева и справа от точек поворота.
Для правой точки поворота (x = b)
Ψ(x) =
C
2
p
|p(x)|
exp
−
1
~
x
Z
b
|p(x)|dx
, x > b; (121)
Ψ(x) =
C
p
p(x)
sin
1
~
b
Z
x
p(x)dx +
π
4
, x < b; (122)
Для левой точки поворота (x = a)
Ψ(x) =
C
1
2
p
|p(x)|
exp
−
1
~
a
Z
x
|p(x)|dx
, x < a; (123)
Ψ(x) =
C
1
p
p(x)
sin
1
~
x
Z
a
p(x)dx +
π
4
, x > a; (124)
                 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ.
                        ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ


                            Квазиклассическое приближение

      Если де-бройлевская длина волны частицы мала по сравнению с характерными разме-
рами системы, то ее свойства близки к классическим. Математически условие применимости
квазиклассического приближения предполагает выполнение неравенства

                                     dλ  m~|F |
                                        ≡ 3      1,                              (119)
                                     dx   p (x)
                         p
где λ = ~/p(x), p(x) =    2m(E − U (x)) – классический импульс частицы, F = −dU/dx –
классическая сила, действующая на частицу во внешнем поле.
      Из (119) следует, что одним из условий применимости квазиклассического приближе-
ния является немалость импульса частицы. Это означает, что данное приближение не приме-
нимо вблизи классических точек поворота частицы (т.е. точек, где E = U (x)).
      Два линейно независимых решения уравнения Шрёдингера в квазиклассическом при-
ближении имеют вид                                           
                                                     Zx
                                      1           i          
                           Ψ±
                            E (x) = p      exp   ±      p(x)dx  .                 (120)
                                      p(x)      ~            
                                                      c

Однако, часто возникает вопрос о сшивании волновых функций вблизи точек, где квазиклас-
сическое приближение не применимо (например, вблизи точек поворота). Существует несколь-
ко возможных вариантов сшивания, которые дают нижеприведенные выражения для волно-
вых функций слева и справа от точек поворота.
      Для правой точки поворота (x = b)
                                                      
                                            Zx
                              C          1            
                     Ψ(x) = p       exp −      |p(x)|dx , x > b;                  (121)
                           2 |p(x)|     ~             
                                                  b
                                         b                  
                               C        1 Z                π
                      Ψ(x) = p     sin           p(x)dx +        , x < b;         (122)
                              p(x)     ~                   4
                                             x

Для левой точки поворота (x = a)
                                                      
                                            Za
                             C1          1            
                     Ψ(x) = p       exp −      |p(x)|dx , x < a;                  (123)
                           2 |p(x)|     ~             
                                                  x
                                         x                  
                              C1        1 Z                π
                      Ψ(x) = p     sin           p(x)dx +        , x > a;         (124)
                              p(x)     ~                   4
                                             a

Страницы