Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева 57
Если потенциальная энергия имеет один минимум между точками x = a и x = b, то из условия
кратности π суммы фаз синусов в выражениях (122) и (124) следуют правила квантования
Бора-Зоммерфельда
1
~
b
Z
a
p
2m[E
n
− U(x)]dx = π
n +
1
2
, n = 0, 1, ... (125)
Если в точке x = a = 0 потенциальная энергия обращается в бесконечность, то условия
квантования модифицируются
1
~
b
Z
0
p
2m[E
n
− U(x)]dx = π
n +
3
4
, n = 0, 1, ... (126)
Заметим, что хотя формально квазиклассическое приближение применимо лишь для n 1,
то есть для высоких уровней, обычно в случае гладких потенциалов приближение имеет вы-
сокую точность и для низких уровней энергии.
Одним из важных применений квазиклассического приближения является его исполь-
зование для вычисления коэффициента прохождения различных барьеров. Если потенциаль-
ный барьер имеет один максимум между точками x = a и x = b, то коэффициент прохождения
вычисляется по следующей формуле
D(E) = exp
−
2
~
b
Z
a
|p(x)|dx
. (127)
Условием применимости приближения является большая по модулю величина показателя
экспоненты, а значит малость коэффициента прохождения.
Теория рассеяния
Пусть свободная частица с волновым вектором k
0
рассеивается на силовом центре
U(r), тогда асимптотика волновой функции на больших расстояниях от силового центра будет
иметь вид
ψ
+
(r) = e
k
0
r
+
f(θ)
r
e
ikr
. (128)
где k = k
0
=
p
2mE/~
2
– волновой вектор частицы, θ – угол рассеяния, т.е. угол между k
0
и k = k
0
r/r. Из (128) видно, что рассеянные частицы вдали от силового центра описываются
расходящейся сферической волной f(θ)e
ikr
/r. Функция f(θ) называется амплитудой рассея-
ния. Амплитуда рассеяния определяет дифференциальное сечение рассеяния dσ = |f(θ)|
2
dΩ
(здесь dΩ – элемент телесного угла), а интегрирование его по углам дает полное сечение рас-
сеяния σ =
R
|f(θ)|
2
dΩ.
Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                               57

Если потенциальная энергия имеет один минимум между точками x = a и x = b, то из условия
кратности π суммы фаз синусов в выражениях (122) и (124) следуют правила квантования
Бора-Зоммерфельда

                           Zb p                          
                       1                                1
                               2m[En − U (x)]dx = π n +     , n = 0, 1, ...           (125)
                       ~                                2
                           a

Если в точке x = a = 0 потенциальная энергия обращается в бесконечность, то условия
квантования модифицируются

                           Zb p                          
                       1                                3
                               2m[En − U (x)]dx = π n +     , n = 0, 1, ...           (126)
                       ~                                4
                           0

Заметим, что хотя формально квазиклассическое приближение применимо лишь для n  1,
то есть для высоких уровней, обычно в случае гладких потенциалов приближение имеет вы-
сокую точность и для низких уровней энергии.
      Одним из важных применений квазиклассического приближения является его исполь-
зование для вычисления коэффициента прохождения различных барьеров. Если потенциаль-
ный барьер имеет один максимум между точками x = a и x = b, то коэффициент прохождения
вычисляется по следующей формуле
                                                          
                                             2 Zb         
                                  D(E) = exp −     |p(x)|dx .                         (127)
                                             ~            
                                                      a

Условием применимости приближения является большая по модулю величина показателя
экспоненты, а значит малость коэффициента прохождения.


                                        Теория рассеяния

      Пусть свободная частица с волновым вектором k0 рассеивается на силовом центре
U (r), тогда асимптотика волновой функции на больших расстояниях от силового центра будет
иметь вид
                                                          f (θ) ikr
                                      ψ + (r) = ek0 r +        e .                    (128)
                                                            r
               p
где k = k0 =       2mE/~2 – волновой вектор частицы, θ – угол рассеяния, т.е. угол между k0
и k = k0 r/r. Из (128) видно, что рассеянные частицы вдали от силового центра описываются
расходящейся сферической волной f (θ)eikr /r. Функция f (θ) называется амплитудой рассея-
ния. Амплитуда рассеяния определяет дифференциальное сечение рассеяния dσ = |f (θ)|2 dΩ
(здесь dΩ – элемент телесного угла), а интегрирование его по углам дает полное сечение рас-
           R
сеяния σ = |f (θ)|2 dΩ.

Страницы