Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ. СПИН
Примеры решения задач
Задача 7.1. Найти в релятивистском случае энергетический спектр заряженной бесспиновой
частицы, находящейся во внешнем магнитном поле.
Решение. В релятивистском случае энергетический спектр заряженной бесспиновой частицы
в магнитном поле определяется из решения соответствующего уравнения уравнения Клейна-
Гордона
c
2
ˆ
p −
e
c
A
2
+ m
2
c
4
Ψ = ε
2
Ψ.
Это уравнение отличается от уравнения Шрёдингера
1
2m
ˆ
p −
e
c
A
2
Ψ = EΨ.
заменой E на (ε
2
−m
2
c
4
)/2mc
2
. Поэтому можно воспользоваться известным результатом для
спектра частицы в магнитном поле
E
p
z
n
= ~ω
c
n +
1
2
+
p
2
z
2m
, n = 0, 1, ...
где ω
c
= e|H|/mc – циклотронная частота. В результате получим следующее выражение для
спектра релятивистской частицы в магнитном поле
ε
p
z
n
= ±
s
m
2
c
4
+ p
2
z
c
2
+ 2mc
2
~ω
c
n +
1
2
. (134)
Заметим, что спектр частицы в магнитном поле отличается от спектра свободной частицы на-
личием слагаемого 2mc
2
~ω
c
n +
1
2
под знаком корня в (134). При этом два значения энергии
в (134) соответствуют частице и соответствующей античастице.
Задача 7.2. Для частицы со спином s = ~/2 найти собственные значения и собствен-
ные функции оператора ˆs
x
.
Решение. Собственные функции ψ
s
x
=
a
b
!
и собственные значения s
x
оператора ˆs
x
най-
дем из решения соответствующего спектрального уравнения ˆs
x
ψ
s
x
= s
x
ψ
s
x
~
2
0 1
1 0
!
a
b
!
=
~
2
b
a
!
= s
x
a
b
!
.
Отсюда следует, что ~b = 2s
x
a и ~a = 2s
x
b. Нетривиальное решение этой системы существу-
ет при условии s
2
x
= ~
2
/4, определяющем спектр s
x
= ±~/2 оператора ˆs
x
. При этом, если
s
x
= ~/2, то a = b, а если s
x
= −~/2, то a = −b. Используя условия нормировки волновой
          РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ. СПИН



                                   Примеры решения задач

Задача 7.1. Найти в релятивистском случае энергетический спектр заряженной бесспиновой
частицы, находящейся во внешнем магнитном поле.
Решение. В релятивистском случае энергетический спектр заряженной бесспиновой частицы
в магнитном поле определяется из решения соответствующего уравнения уравнения Клейна-
Гордона                                      
                                     e 2
                               c p̂ − A + m c Ψ = ε2 Ψ.
                                2          2 4
                                     c
Это уравнение отличается от уравнения Шрёдингера

                                      1      e 2
                                          p̂ − A Ψ = EΨ.
                                     2m       c
заменой E на (ε2 − m2 c4 )/2mc2 . Поэтому можно воспользоваться известным результатом для
спектра частицы в магнитном поле

                                                  p2
                                             
                                            1
                          Epz n   = ~ωc n +     + z , n = 0, 1, ...
                                            2    2m

где ωc = e|H|/mc – циклотронная частота. В результате получим следующее выражение для
спектра релятивистской частицы в магнитном поле
                               s                                               
                                                                              1
                        εp z n = ±   m 2 c4   +   p2z c2   +   2mc2 ~ωc    n+    .   (134)
                                                                              2

Заметим, что спектр частицы в магнитном поле отличается от спектра свободной частицы на-
личием слагаемого 2mc2 ~ωc n + 12 под знаком корня в (134). При этом два значения энергии
                                 

в (134) соответствуют частице и соответствующей античастице.
      Задача 7.2. Для частицы со спином s = ~/2 найти собственные значения и собствен-
ные функции оператора ŝx .                           !
                                                  a
Решение. Собственные функции ψsx =          и собственные значения sx оператора ŝx най-
                                       b
дем из решения соответствующего спектрального уравнения ŝx ψsx = sx ψsx
                               !      !           !            !
                       ~ 0 1        a      ~    b           a
                                         =          = sx         .
                       2   1 0      b      2    a            b

Отсюда следует, что ~b = 2sx a и ~a = 2sx b. Нетривиальное решение этой системы существу-
ет при условии s2x = ~2 /4, определяющем спектр sx = ±~/2 оператора ŝx . При этом, если
sx = ~/2, то a = b, а если sx = −~/2, то a = −b. Используя условия нормировки волновой

Страницы