Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 61 стр.

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                                         61

      15. Вычислить для дираковского электрона, находящегося в однородном и постоянном
                         dαz
магнитном поле, величину     .
                          dt
      16. Электрон описывается уравнением Паули. Для электрона, находящегося в одно-
родном и постоянном магнитном поле, найти оператор скорости.
      17. Вычислить для дираковского электрона, находящегося в однородном и постоянном
                         dαy
магнитном поле, величину     .
                          dt
      18. Найти компоненты четырехмерного вектора плотности тока свободной дираков-
ской частицы в состоянии, характеризующемся определенным значением её импульса.
                                         1
       19. Показать, что операторы P̂± = (1 ± γ5 ) являются проекционными.
                                         2
       20. Показать, что в достаточно сильном электростатическом поле частица, описывае-
мая уравнением Клейна-Гордона, испытывает притяжение независимо от её заряда.
        21. Найти собственные векторы и собственные числа бозеевских операторов â, â+ .
        22. Показать, что при движении электрона в стационарном магнитном поле проекция
спина электрона на направление его скорости является интегралом движения.
        23. Показать, что при движении протона в стационарном магнитном поле проекция
спина на направление его скорости не является интегралом движения.
        24. Найти среднее магнитное поле, создаваемое в начале координат частицей со спи-
ном 1/2 и магнитным моментом µ0 , находящейся в стационарном S-состоянии в центральном
поле.
        25. Каков явный вид операторов |σ̂z |, |σ̂z |, σ[σ × σ]?
        26. Показать, что для дираковской частицы с массой m = 0 матрица γ5 коммутирует с
гамильтонианом свободной частицы.
        27. Найти энергетический спектр s-состояний бесспиновой частицы во внешнем ска-
лярном поле вида                               
                                               −U , r ≤ a,
                                                   0
                                       U (r) =
                                               0, r > 0.

        28. Доказать тождество (σ̂ Â)(σ̂ B̂) = ÂB̂ + iσ̂(Â × B̂), если [σ̂, Â] = σ̂ B̂ = 0.
        29. Найти зависимость от времени спиновой волновой функции и средних значений
компонент спина нейтральной частицы со спином s = 1/2 и магнитным моментом µ, находя-
щейся в постоянном однородном магнитном поле H.
        30. Упростить выражение (aσ̂)n , где a – заданный вектор, σ̂ – матрица Паули, n –
целое положительное число.