Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ. СПИН
Основные понятия
Характерной особенностью взаимодействия частиц в релятивистской области являет-
ся возможность их рождения, уничтожения и взаимного превращения при высоких энергиях.
Поэтому одночастичное описание в релятивистской области имеет ограниченное применение,
а вероятностная интерпретация волновой функции оказывается несостоятельной. Для описа-
ния одночастичных состояний используют волновые функции, обладающие определенными
трансляционными свойствами относительно преобразований Лоренца. Причем эти свойства
зависят от спина частицы.
В случае бесспиновой частицы волновая функция является четырехмерным скаляром
и удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона (для случая свободной частицы)
(ˆp
2
i
+ m
2
c
2
)Ψ = 0 или
∆ −
1
c
2
∂
2
∂t
2
Ψ =
mc
~
2
Ψ. (135)
Волновое уравнение для бесспиновой частицы в электромагнитном поле получается из (135),
если мы сделаем в нем замену
ˆ
p →
ˆ
p − eA/c, i~(∂/∂t) → i~(∂/∂t) − eϕ. (Здесь A и ϕ –
векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля).
В случае свободной частицы со спином s = ~/2 волновая функция Ψ является биспи-
нором и удовлетворяет уравнению Дирака
i~
∂
∂t
Ψ = (cα
ˆ
p + mc
2
β)Ψ, Ψ =
ϕ
χ
!
=
ψ
1
ψ
2
ψ
3
ψ
4
. (136)
Здесь матрицы α и β имеют вид
α =
0 σ
σ 0
!
, β = γ
4
=
1 0
0 −1
!
, (137)
где σ – матрицы Паули.
ˆσ
x
=
0 1
1 0
!
, ˆσ
y
=
0 −i
i 0
!
, ˆσ
z
=
1 0
0 −1
!
. (138)
Удобно использовать также следующие матрицы Дирака
γ = −iβα = i
0 −σ
σ 0
!
, γ
5
= γ
1
γ
2
γ
3
γ
4
= −
0 1
1 0
!
. (139)
Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле получается из (136) с помощью ука-
занных выше замен.
         РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ. СПИН


                                       Основные понятия

      Характерной особенностью взаимодействия частиц в релятивистской области являет-
ся возможность их рождения, уничтожения и взаимного превращения при высоких энергиях.
Поэтому одночастичное описание в релятивистской области имеет ограниченное применение,
а вероятностная интерпретация волновой функции оказывается несостоятельной. Для описа-
ния одночастичных состояний используют волновые функции, обладающие определенными
трансляционными свойствами относительно преобразований Лоренца. Причем эти свойства
зависят от спина частицы.
      В случае бесспиновой частицы волновая функция является четырехмерным скаляром
и удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона (для случая свободной частицы)
                                                1 ∂2
                                                          mc 2
                      2    2 2
                   (p̂i + m c )Ψ = 0 или   ∆− 2 2 Ψ=               Ψ.                                (135)
                                               c ∂t          ~
Волновое уравнение для бесспиновой частицы в электромагнитном поле получается из (135),
если мы сделаем в нем замену p̂ → p̂ − eA/c, i~(∂/∂t) → i~(∂/∂t) − eϕ. (Здесь A и ϕ –
векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля).
      В случае свободной частицы со спином s = ~/2 волновая функция Ψ является биспи-
нором и удовлетворяет уравнению Дирака
                                                                                    
                                                                                ψ1
                                                                    !        
                       ∂                                       ϕ          ψ2 
                     i~ Ψ = (cαp̂ + mc2 β)Ψ, Ψ =                        =
                                                                          ψ .
                                                                                                    (136)
                       ∂t                                      χ          3 
                                                                           ψ4

Здесь матрицы α и β имеют вид
                                            !                               !
                                      0 σ                       1       0
                            α=                  , β = γ4 =                      ,                    (137)
                                      σ 0                       0 −1

где σ – матрицы Паули.
                                  !                       !                              !
                            0 1                   0 −i                      1        0
                  σ̂x =               , σ̂y =                 , σ̂z =                        .       (138)
                            1 0                   i   0                     0 −1

Удобно использовать также следующие матрицы Дирака
                                     !                                                    !
                               0 −σ                                                 0 1
               γ = −iβα = i            , γ5 = γ1 γ2 γ3 γ4 = −                                    .   (139)
                               σ 0                                                  1 0

Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле получается из (136) с помощью ука-
занных выше замен.

Страницы