Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

60 Шорохов А.В., Пятаев М.А.
функции hψ
s
x
|ψ
s
x
i = |a|
2
+|b|
2
= 1, получим следующие выражения для собственных функций
оператора ˆs
x
ψ
s
x
=+1/2
=
1
√
2
1
1
!
, ψ
s
x
=−1/2
=
1
√
2
1
−1
!
.
Варианты индивидуального задания № 7
1. Найти энергетический спектр электрона, описываемого уравнением Дирака, и его
волновую функцию в постоянном и однородном магнитном поле H.
2. Найти квадрат проекции спина на произвольное направление.
3. Найти собственные числа спинового оператора
ˆ
f = a + bσ, где a ∈ C, b ∈ R
3
, (σ)
i
– матрицы Паули.
4. Вычислить обменную энергию атома гелия при условии, что электроны находятся в
1S и 2S состояниях.
5. Два тождественных бозона со спином S = 0 связаны потенциалом V =
1
2
k(r
1
−r
2
)
2
.
Найти энергетический спектр системы.
6. Для дираковского электрона найти
dβ
dt
, считая электрон свободным.
7. Найти скалярное произведение S
1
·S
2
в синглетном и триплетном состояниях. Спин
частицы равен ~/2.
8. Доказать, что σ
x
, σ
y
, σ
z
, I образуют базис пространства, состоящего из матриц 2 ×2.
9. Показать, что для уравнения Паули вектор плотности тока j для электрона в элек-
тромагнитном поле инвариантен относительно калибровочного преобразования
A
0
= A + ∇f,
ϕ
0
= ϕ −
1
c
∂f
∂t
.
10. Зная экспериментальные значения энергии парасостояния E
s
= −58, 3712 эв и
ортосостояния E
t
= −59, 1600 эв, найти для атома He с конфигурацией 1S
1
2S
1
обменную и
кулоновскую энергии взаимодействия электронов.
11. Для дираковской частицы в однородном магнитном поле B найти
dβ
dt
.
12. Определить спиновую волновую функцию нейтральной частицы со спином s = 1/2,
находящейся в однородном магнитном поле, постоянном по направлению, но меняющемся по
величине по закону B = B(t). Ограничиться случаем V c.
13. Вычислить для дираковского электрона, находящегося в однородном и постоянном
магнитном поле величину
dα
x
dt
.
14. Однородное магнитное поле B постоянно по величине, а его направление равно-
мерно вращается (с угловой скоростью ω) вокруг оси Oz, образуя с ней угол θ. Найти для
нейтральной частицы со спином 1/2, находящейся в этом поле, спиновую волновую функцию.
60                                                                  Шорохов А.В., Пятаев М.А.

функции hψsx |ψsx i = |a|2 + |b|2 = 1, получим следующие выражения для собственных функций
оператора ŝx                               !                            !
                                   1    1                      1     1
                      ψsx =+1/2   =√            , ψsx =−1/2   =√             .
                                    2   1                       2   −1



                         Варианты индивидуального задания № 7

      1. Найти энергетический спектр электрона, описываемого уравнением Дирака, и его
волновую функцию в постоянном и однородном магнитном поле H.
      2. Найти квадрат проекции спина на произвольное направление.
      3. Найти собственные числа спинового оператора fˆ = a + bσ, где a ∈ C, b ∈ R3 , (σ)i
– матрицы Паули.
      4. Вычислить обменную энергию атома гелия при условии, что электроны находятся в
1S и 2S состояниях.
                                                                             1
      5. Два тождественных бозона со спином S = 0 связаны потенциалом V = k(r1 − r2 )2 .
                                                                             2
Найти энергетический спектр системы.
                                           dβ
      6. Для дираковского электрона найти     , считая электрон свободным.
                                           dt
      7. Найти скалярное произведение S1 · S2 в синглетном и триплетном состояниях. Спин
частицы равен ~/2.
      8. Доказать, что σx , σy , σz , I образуют базис пространства, состоящего из матриц 2 × 2.
      9. Показать, что для уравнения Паули вектор плотности тока j для электрона в элек-
тромагнитном поле инвариантен относительно калибровочного преобразования
                                  
                                  A0 = A + ∇f,
                                  ϕ0 = ϕ − 1 ∂f .
                                                     c ∂t


      10. Зная экспериментальные значения энергии парасостояния Es = −58, 3712 эв и
ортосостояния Et = −59, 1600 эв, найти для атома He с конфигурацией 1S 1 2S 1 обменную и
кулоновскую энергии взаимодействия электронов.
                                                                     dβ
      11. Для дираковской частицы в однородном магнитном поле B найти   .
                                                                     dt
      12. Определить спиновую волновую функцию нейтральной частицы со спином s = 1/2,
находящейся в однородном магнитном поле, постоянном по направлению, но меняющемся по
величине по закону B = B(t). Ограничиться случаем V  c.
      13. Вычислить для дираковского электрона, находящегося в однородном и постоянном
                        dαx
магнитном поле величину     .
                         dt
      14. Однородное магнитное поле B постоянно по величине, а его направление равно-
мерно вращается (с угловой скоростью ω) вокруг оси Oz, образуя с ней угол θ. Найти для
нейтральной частицы со спином 1/2, находящейся в этом поле, спиновую волновую функцию.

Страницы