Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
3. Одномерное движение частицы
в потенциальном поле
В квантовой механике движение частицы во внешнем поле с потенциалом
u
r
(
)
v
описывается уравнением Шрёдингера
i
t
Hh
∂Ψ
∂
=
$
Ψ, (3.1)
где
Ψ
(
,
)
r
r
– функция четырёх переменных.
Если гамильтониан
$
H
не зависит от времени (стационарное уравнение
Шрёдингера), то
Ψ
Ψ
(,)()exp()
r
r
hrtriEt
=
⋅
−
, (3.2)
при этом
Ψ
(
)
r
r
удовлетворяет уравнению
$
()()HrErΨΨ
r
r
=
. (3.3)
Если потенциал имеет вид
u
r
(
)
r
=
u
1
(x
1
)+u
2
(x
2
)+u
3
(x
3
), то уравнение (3.3)
допускает разделение переменных
Ψ
(
)
r
r
=
ψ
1
(x
1
)ψ
2
(x
2
)ψ
3
(x
3
) и определение
спектра
$
H
сведётся к отысканию решений одномерных уравнений
$
()()HxEx
iiiiii
ΨΨ= , (3.4)
при этом EE
i
i
=
=
∑
1
3
.
Энергетический спектр (множество собственных значений
$
H
– СЗ) может
быть дискретным (финитное движение ) и непрерывным (при инфинитном
движении). Волновые функции (ВФ ) дискретного спектра могут быть
нормированы условием
Ψ
n
xdx()
2
1=
∫
. (3.5)
Это означает, что плотность вероятности убывает при больших x достаточно
быстро, чтобы интеграл сходился. В случае инфинитного движения волновая
функция не является квадратично интегрируемой и нормируется поэтому на δ-
функцию
ψψδ
′
=′−
∫ FF
xxdxFF()()()
*
(3.6)
Коэффициент прозрачности квазиклассического (l>>λ) потенциального
барьера u(x)
[]
DmuxEdx
x
x
≈−−
∫
exp()
2
2
1
2
h
, (3.7)
где x
1
и x
2
– точки поворота , в которых u(x)=E, l – ширина барьера.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                  11

                                        3. О д номерное д ви жени е ч а сти цы
                                                   в потенци а л ьном пол е

                   В ква нто во й ме ха ни ке дви ж е ни е ч а сти цы во вне ш не м по ле с по те нци а ло м
              v
           u(r ) о пи сыва е тся ур а вне ни е м Ш р ёди нг    е ра
                                           ∂Ψ
                                        ih       = H$ Ψ ,                                     (3.1)
                                            ∂t
                    r
           где Ψ ( r ,t ) – ф ункци я ч е тыр ёх пе р е ме нных.
                   Если гами льто ни а н H$ не за ви си т о т вр е ме ни (ста ци о на р но е ур а вне ни е
           Ш р ёди нг  е р а ), то
                                       r             r
                                   Ψ ( r ,t ) = Ψ ( r ) ⋅ exp( −iE t h ) ,                    (3.2)
                             r                                          r       r
           пр и э то мΨ ( r ) удо вле тво р яе тур а вне ни ю H$ Ψ ( r ) = EΨ ( r ) .   (3.3)
                                                             r
                   Если по те нци а л и ме е т ви д u( r ) = u1(x1)+u 2(x2)+u3(x3), то ур а вне ни е (3.3)
                                                                    r
           до пуска е т р а зде ле ни е пе р е ме нных Ψ ( r ) = ψ1(x1)ψ2(x2)ψ3(x3) и о пр е де ле ни е
           спе ктр а H$ све дётся к о тыска ни ю р е ш е ни й о дно ме р ных ур а вне ни й
                                      H$ iΨi ( xi ) = EiΨi ( xi ) ,                           (3.4)
                             3
           пр и э то м E = ∑ Ei .
                            i =1
                   Э не р ге ти ч е ски й спе ктр (мно ж е ство со б стве нных зна ч е ни й H$ – СЗ) мо ж е т
           б ыть ди скр е тным (ф и ни тно е дви ж е ни е ) и не пр е р ывным (пр и и нф и ни тно м
           дви ж е ни и ). Во лно вые ф ункци и (ВФ ) ди скр е тно г         о спе ктр а мо г     ут б ыть
           но р ми р о ва ны усло ви е м
                                                   2
                                      ∫ Ψn ( x )       dx = 1 .                                     (3.5)
           Э то о зна ч а е т, ч то пло тно сть ве р о ятно сти уб ыва е т пр и б о льш и х x до ста то ч но
           б ыстр о , ч то б ы и нте г р а л схо ди лся. В случ а е и нф и ни тно г      о дви ж е ни я во лно ва я
           ф ункци я не являе тся ква др а ти ч но и нте г        р и р уе мо й и но р ми р уе тся по э то му на δ-
           ф ункци ю
                                     ∫ ψ F ′ ( x )ψ F ( x )dx = δ ( F ′ − F )
                                                    *
                                                                                                      (3.6)
                     Ко э ф ф и ци е нт пр о зр а ч но сти ква зи кла сси ч е ско г
                                                                                  о (l>>λ) по те нци а льно г
                                                                                                            о
           б а р ье р а u(x)
                                                       x                    
                                       D ≈ exp − ∫ 2m[u( x ) − E ]dx ,
                                                
                                                          2
                                                     2
                                                                                                   (3.7)
                                                     h x
                                                        1                   
           где x1 и x2 – то ч ки по во р о та , в ко то р ых u(x)=E, l – ш и р и на б а р ье р а .




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы