Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 9 стр.

                                                                                         9
              удо вле тво р яе т а вто ма ти ч е ски тр е б о ва ни ям о гра ни ч е нно сти и не пр е р ывно сти
              по ϕ пр и лю б ых ве щ е стве нных L z , тр е б о ва ни е о дно зна ч но сти сво ди тся к
              усло ви ю пе р и о ди ч но сти : ψ (ϕ + 2π ) = ψ (ϕ ) . Э то пр и во ди тк ква нто ва ни ю L z :
                                                      L z = mh, m = 0,±1,±2 K ,
              И з но р ми р о вки во лно во й ф ункци и на 1 на и нте р ва ле [0 ,2π ]                            о ко нч а те льно
                                                               −
                                                                           e im ϕ .
                                                                   1
              на йде м ψ     m   ( ϕ ) = ( 2π )                        2




             6. Д о ка за ть са мо со пр яж е нно сть о пе р а то р а мо ме нта ко ли ч е ства дви ж е ни я
                    [ ]
                r€ r r
                L = r€, p€.
                                                                              ∂    ∂ 
               Д о ка ж е м       э р ми то во сть о пе р а то р а L€x = −ih y − z                   ,        т.е . до ка ж е м
                                                                              ∂z   ∂y 
               р а ве нство
                                                                                                     *
                                     ∂ψ            ∂ψ                     ∂ψ    ∂ψ 
                         − ih∫ψ 1∗  y 2        − z 2 dτ = ∫ψ 2  − ih( y 1 − z 1 )  dτ
                                             ∂z     ∂y                     ∂z    ∂y 
               П е р е не се м вле во все ч ле ны р а ве нства и сгруппи р уе м по два , по луч и м
                                              ∂
                                                  (   *
                                                           )
                                   ∫ y ∂z ψ 1 ψ 2 dτ − ∫ z ∂y ψ 1 ψ 2 dτ = 0
                                                                                 ∂
                                                                                     (   *
                                                                                                 )
               В си лу но р ми р о вки ф ункци и ψ 1 и ψ 2 на б е ско не ч но сти р а вны нулю , по э то му
               пе р во е сла гае мо е (а на ло г
                                               и ч но и для вто р о г
                                                                    о ) да е т но ль:
                                              ∞
                    ∂                           ∂                                                            ∞
                ∫ y ∂z (ψ 1ψ 2 )dτ = ∫∫ ydxdy ∫ ∂z (ψ 1ψ 2 )dz = ∫∫ ydxdy ψ 1ψ 2                                  =0
                          *                           *                     *
                                                                                                             −∞
                                             −∞
           7. Выр а зи ть ко ммута то р пр о и зве де ни я A€B€ и C€ч е р е з ко ммута то р ы A€, C€ и        [ ]
              [B€,C€].
                         [A€B€,C€] = ABC − CAB = ABC − ACB + ACB − CAB = A[B, C ] + [A, C ]B
           8. П р о ве р и ть пр а ви ла ко ммута ци и для г                 € в по те нци а льно м по ле
                                                           а ми льто ни а на H
              U( x).

                              [H€, x] = − imh Px ;                     [H€, P€x ] = ih dU
                                                                                       dx
                                                                                          ;


                              [H€, P€ ] = 2ih dU
                                      2
                                          x
                                              dx
                                                 P€ + h            x
                                                                             2   d 2U
                                                                                 dx 2
                                                                                             ;


           9. Д о ка за ть сле дую щ и е пр а ви ла ко ммута ци и :




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com