Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 8 стр.

                                                                8
                                    r    r        r
            И ли уч и тыва я, ч то ∇Aψ = A∇ψ + divA • ψ , по луч и м
                    (ih ∇ + A )2 = − h 2 ∆ + 2 ih (A ∇ ) + ih div A + A 2
                                r                           r                  r   r


         2. На йти ко ммута то р €  p ,x[   2
                                                 ]
            Д е йствуе м ко ммута то р о м на ф ункци ю :
            [€
             p x , x ]ψ ( x ) = €
                                p x xψ ( x ) − x€
                                                p xψ ( x ) = −ih ( xψ ) − x (− ih ) ψ = −ihψ
                                                                d                  d
                                                                                                              т.е .
                                                                    dx                 dx
         [€p , x ] = − ih
             2
             x
            О пе р а то р ы, де йствую щ и е на р а зные пе р е ме нные , ко ммути р ую т.
                                        [         ] [ ]             [ ]
            И спо льзуя ф о р мулу A€B€, C€ = A€, C€B€+ A€B€, C€ , по луч и м
                    [p€ , x] = [ p€ , x]p€ + p€ [ p€ , x] = −2ihp€
                       2
                                    x       x     x   x                 x


         3. На йти о пе р а то р , пе р е во дящ и й ψ ( x ) в ψ ( x + a ) .
            П о усло ви ю и ме е м T€     aψ ( x ) = ψ ( x + a ) .
            Ра зло ж и м ψ ( x + a ) в р яд по сте пе ням           a :
                                                dψ a 2 d 2ψ        ∞ an d n
                    ψ (x + a ) = ψ (x) + a        +         + K = ∑ n! n ψ ( x )
                                                dx 2! dx 2        n =0  dx
                                                                    d
                                xn  ∞              a
            зна я, ч то e = ∑ , за пи ш е м T€
                           x
                                             a = e   dx .
                            n =0 n!


                               [ ]
         4. Д о ка за ть ч то A€, B€ = 0 , е сли у о пе р а то р о в A€ и B€ о б щ и е со б стве нные ф ункци и .
            П устьψ -о б щ а я со б стве нна я ф ункци я , то г      да
                                               A€B€ψ = A€Bψ = BA€ψ = BAψ

                                                  B€A€ψ = B€Aψ = AB€ψ = ABψ
            Выч и та я о дно и з др уг
                                     ого , по луч и м
                               A€B€ψ = B€A€ψ          и     [A€, B€] = 0
         5. На йти со б стве нные ф ункци и и со б стве нные зна ч е ни я о пе р а то р а пр о е кци и
           мо ме нта      ко ли ч е ства дви ж е ни я, ко то р ый в сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на т
                              ∂
           б уде тLz = −ih .
                             ∂x
           Та к ка к ур а вне ни е для со б стве нных ф ункци й и со б стве нных зна ч е ни й и ме е т

                                                   ψ (ϕ ) = L zψ (ϕ ) , где L z - со б стве нно е зна ч е ни е .
                                                 d
            ви д A€ψ N = ANψ N , то − ih
                                                dϕ
                                                                                              iL ϕ 
            Ре ш е ни е ди ф ф е р е нци а льно го ур а вне ни я б уде т ψ (ϕ ) = N exp z  ; о но
                                                                                              h 


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com