Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
2.Квантово-механические операторы
В основе современной квантовой механики лежит аппарат, который основан
на использовании линейных операторов в гильбертовом пространстве . Оператор
A
€
линейный , если
(
)
22112211
A
€
CA
€
CCCA
€
ψψψψ +=+
(2.1)
где
1
C и
2
C - постоянные ;
1
ψ
и
2
ψ
- произвольные функции.
Операторы
A
и
B
коммутируют, если их коммутатор
[
]
0
€
€€
€
€
,
€
=−= ABBABA (2.2)
Матричный элемент оператора:
∫
== dVAAA
nmnmmn
ψψψψ
€€
*
(2.3)
Оператор
A
€
эрмитов (самосопряженный), если для произвольных функций
1
и
2
ψ
верно равенство
∫∫
=dxAdxA
1
*
22
*
1
€
€
ψψψψ (2.4)
Среднее значение физической величины
A
в состоянии
ψ
(математическое
ожидание ):
∫
=== dVAAAA ψψψψ
€
*
(2.5)
Дисперсия:
2
2
A
A
A
−=∆ (2.6)
Производная оператора по времени:
[
]
AH
i
t
A
dt
Ad
A
€
,
€
€€
€
h
&
+
∂
∂
==
(2.7)
Оператор полной энергии (гамильтониан):
,
2
2
€
€
2
22
U
m
U
m
p
H +∇−=+=
h
(2.8)
где
2
∇
- оператор Лапласа .
Оператор импульса :
,
€
∇−= h
r
ip
,
€
x
ip
x
∂
∂
−= h
222222
€€€€
∇−=++= h
zyx
pppp
(2.9)
Оператор момента импульса :
[
]
prL
€
,
€
€
r
r
r
=
,
€€€€
,
222222
ϕθ
∇−=++= h
zyx
LLLL (2.10)
где
2
,ϕθ
∇ - угловая часть оператора Лапласа .
Собственные значения и собственные функции оператора
2
L
€
:
(
)
,1
22
h += llL
,...
2
,
1
,
0
=
l
(2.11)
(
)
(
)
(
)
lmimY
ml
lm
±
±
=
•
=
,,1,0,exp, K
ϕ
θ
θ
ϕ
θ
(2.12)
Задачи
1. Возвести в квадрат оператор
(
)
rAi
r
r
h +∇
Применяя двукратно оператор к произвольной функции
ψ
, получим
(
)
(
)
(
)
ψψψ∆ψψ
22
AAAiAiAi
r
r
r
hh
r
h
r
h +∇+∇+−=+∇+∇
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                7

                                       2.К ва нтово-меха ни ч еск и е опера торы

                 В о сно ве со вр е ме нно й ква нто во й ме ха ни ки ле ж и та ппа р а т, ко то р ый о сно ва н
           на и спо льзо ва ни и ли не йных о пе р а то р о в в г
                                                                и льб е р то во м пр о стр а нстве . О пе р а то р
            €
           A ли не йный , е сли
                                  €(C ψ + C ψ ) = C A           €               €
                                 A     1 1       2 2           1 ψ 1 + C2 Aψ 2                   (2.1)
           где C1 и C 2 - по сто янные ; ψ1 и ψ2 - пр о и зво льные ф ункци и .
           О пе р а то р ы A и B ко ммути р ую т, е сли и х ко ммута то р
                                               [ ]
                                             A€, B€ = A€B€− B€A€= 0                               (2.2)
           М а тр и ч ный э ле ме нто пе р а то р а : A = ψ A€ψ = ψ * A€ψ dV
                                                        mn          m       n   ∫       m   n     (2.3)
           О пе р а то р A€ э р ми то в (са мо со пр яж е нный), е сли для пр о и зво льных ф ункци й ψ1 и
           ψ2 ве р но р а ве нство
                                       ∫ψ 1 A€ψ 2 dx = ∫ψ 2 A€ψ 1dx
                                           *                    *
                                                                                                  (2.4)
           Ср е дне е зна ч е ни е ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны A в со сто яни и ψ (ма те ма ти ч е ско е
           о ж и да ни е ):
                                  A = A = ψ Aψ = ∫ψ * A€ψdV                              (2.5)
                                                                        2
           Д и спе р си я:                           ∆A = A 2 − A                             (2.6)

           П р о и зво дна я о пе р а то р а по вр е ме ни : A&€=
                                                                     €
                                                                      =
                                                                         €
                                                                   dA ∂A i € €
                                                                   dt ∂t h
                                                                            + H, A      [   ] (2.7)

                                                                        p€2         h2 2
           О пе р а то р по лно й э не р г  и и (гами льто ни а н): H€=      +U = −    ∇ + U , (2.8)
                                                                        2m          2m
           где ∇ - о пе р а то р Л а пла са .
                  2

           О пе р а то р и мпульса :
                        r                      ∂
                       p€= −ih∇, p€x = −ih ,            p€2 = p€x2 + p€2y + p€z2 = −h 2 ∇ 2         (2.9)
                                               ∂x
           О пе р а то р мо ме нта и мпульса :
                               [ ]
                            r€ r r
                           L = r€, p€      L€2 = L€2x + L€2y + L€2z = −h 2∇ 2θ ,ϕ ,               (2.10)
           где ∇θ2 ,ϕ - уг
                         ло ва я ч а сть о пе р а то р а Л а пла са .
           Со б стве нные зна ч е ни я и со б стве нные ф ункци и о пе р а то р а L€2 :
                                    L2 = l (l + 1)h 2 , l = 0,1,2,...                             (2.11)
                             Ylm (θ , ϕ ) = θ l m (θ ) • exp(imϕ ), m = 0,±1,K,±l                 (2.12)

                                                             З а да чи
                                                               r r
           1. Во зве сти в ква др а то пе р а то р i h ∇ + A (r )
              П р и ме няя двукр а тно о пе р а то р к пр о и зво льно й ф ункци и ψ , по луч и м
                       (          )(              )                     (           )
                              r             r                        r r          r
                        ih∇ + A ih∇ψ + Aψ = −h 2 ∆ψ + ih ∇A + A∇ ψ + A 2ψ


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы