Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Задачи
1. Частица массы m находится в одномерном
потенциальном поле u(x) (прямоугольная потенциальная
яма шириной 2l и глубиной u
0
), показанном на рис. 3.1.
Найти ВФ и спектр финитного движения (Е<0). Найти
коэффициенты отражения R и прозрачности D в случае
инфинитного движения (E>0).
Решение:
Для каждой из областей (рис. 3.1) записываем уравнение Шрёдингера:
I. u(x)=0,
−=
h
2
2
2
2m
d
dx
E
I
I
Ψ
Ψ
при x< -l;
II. u(x)=- u
0
, −−=
h
2
2
2
0
2m
d
dx
uE
II
IIII
Ψ
ΨΨ при -l< x <l;
III.u(x)=0, −=
h
2
2
2
2m
d
dx
E
III
III
Ψ
Ψ при x>l.
Введём обозначения
k
mE
2
2
2
=
h
,
2
2
1
0
22
0
22
mEu
mE
u
E
kn
()+
=+
=
hh
. Тогда
d
dx
k
2
2
2
0
Ψ
Ψ+=
при xl>;
d
dx
kn
2
2
22
0
Ψ
Ψ+=
при xl<.
Рассмотрим прежде финитное движение , т.е .
−
<
<
uE
0
0
. Так как в этом
случае
k
2
0
<
и n
u
E
2
0
10=+<, то введём новые действительные переменные
ϖ
и ν :
k
i
=
ϖ
, ϖ
2
2
2
=
mE
h
,
n
i
=
, n
u
E
u
E
2
00
2
11=−=−−
=−ν .
Тогда
d
dx
2
2
2
0
Ψ
Ψ−=ϖ , xl>;
d
dx
n
2
2
22
0
Ψ
Ψ−=ϖ , xl<.
Этим уравнениям удовлетворяют функции
Ψ
I
xx
AeAe=+
′
−
ϖ
ϖ
, xl>;
Ψ
III
xx
BeBe=′+
−ϖϖ
, xl>;
u(x)
-l 0 l
x
I II
III
Рис. 3. 1
-u
0
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                 12

                                                               За да ч и
                     u(x)                    1. Ч а сти ца ма ссы m на хо ди тся в о дно ме р но м
                                             по те нци а льно м по ле u(x) (пр ямо уг    о льна я по те нци а льна я
                -l        0      l
                                       x     яма ш и р и но й 2l и глуб и но й u0), по ка за нно м на р и с. 3.1.
                               -u0           На йти ВФ и спе ктр ф и ни тно г      о дви ж е ни я (Е<0). На йти
            I        II              III
                                             ко эф ф и ци е нты о тр а ж е ни я R и пр о зр а ч но сти D в случ а е
                                             и нф и ни тно г о дви ж е ни я (E>0).
                     Ри с. 3. 1
                                                                       Р еш ени е:
           Д ля ка ж до й и з о б ла сте й (р и с. 3.1) за пи сыва е м ур а вне ни е Ш р ёди нг
                                                                                              е ра:
                                          h d ΨI
                                            2    2
                       I. u(x)=0, −                  = EΨ I пр и x< -l;
                                         2m dx 2
                                             h 2 d 2Ψ II
                       II. u(x)=- u 0 , −                − u0Ψ II = EΨ II пр и -l< x l.
                                         2m dx 2
                                              2mE
           Вве дём о б о зна ч е ни я k 2 = 2 ,
                                                h
                        2m( E + u0 ) 2mE              u 
                                        = 2  1 + 0  = k 2 n 2 . То г      да
                              h 2
                                            h          E
                        d 2Ψ
                            2
                               + k 2Ψ = 0 пр и x > l ;
                        dx
                        d 2Ψ
                            2
                               + k 2 n 2Ψ = 0 пр и x < l .
                        dx
           Ра ссмо тр и м пр е ж де ф и ни тно е дви ж е ни е , т.е . − u0 < E < 0 . Та к ка к в э то м
                                               u
           случ а е k 2 < 0 и n 2 = 1 + 0 < 0 , то вве дём но вые де йстви те льные пе р е ме нные
                                                E
                                        2m E
           ϖ и ν : k = iϖ , ϖ 2 = 2 ,
                                         h
                                             u      u       
                       n = iν , n 2 = 1 − 0 = − 0 − 1 = −ν 2 .
                                              E     E       
                        d 2Ψ
               То гда       2
                              − ϖ 2Ψ = 0 , x > l ;
                         dx
                        d 2Ψ
                           2
                              − ϖ 2 n2Ψ = 0 , x < l .
                        dx
           Э ти м ур а вне ни ям удо вле тво р яю тф ункци и
                       Ψ I = Aeϖ x + A ′e −ϖ x , x > l ;
                              Ψ III = B ′eϖ x + Be − ϖ x , x > l ;



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы