ВУЗ:
Составители:
14
Теперь определим энергетические уровни. Для чётных состояний
tglϖν
ν
=
1
. Умножим на ϖl и введём новые переменные ξ=ϖνl и η=ϖl.
Получим ξ tgξ =η.
Заметим, что
ξηϖν
22222
2
2
0
1
2
+=+==l
mEl
U
E
()
h
==
U
ml
0
22
2
2h
γ
, где γ – безразмерная константа , не зависящая от энергии.
Решая систему
ξξη
ξηγ
tg =
+=
222
, определим ξ, а следовательно , и значения
энергии.
ξϖν
2222
2
0
2
0
2
2
2
2
2
1
2
2
==−
=−l
mE
U
E
l
mU
l
mE
l
hhh
,
откуда EEU
ml
nn
=−=−+
0
2
2
2
2
h
ξ.
Систему удобно решать графически , где ξ будут
точками пересечения обоих графиков (рис.3.2).
Аналогично находятся E
n
для нечётных состояний.
Отметим, что уровня Е=–U
0
нет. Частица локализована в
конечной области пространства 2
~
(
~
)lll>, в силу чего
неопределённость в импульсе будет составлять
∆ pl~
~
h2, в то время как при Е=–U
0
, она должна была
бы равняться нулю .
Теперь рассмотрим случай Е>0.
В этом случае n и k – действительные величины
k
mE
2
2
2
0=>
h
и n
U
E
2
0
10=+>,
поэтому
Ψ
I
ikxikx
AeAe=+
−
1
,
xl>
;
Ψ
III
ikxikx
BeBe=+
−
2
, xl>;
Ψ
II
iknxiknx
CeGe=+
−
, xl<.
Граничные условия будут определяться положением источника частиц.
Предположим, что источник находится слева от ямы. Тогда волна ,
распространяющаяся в отрицательном направлении оси x правее ямы, должна
отсутствовать , т.е . B
2
≡ 0.
В случае инфинитного движения ВФ не является квадратично
интегрируемой. Одним из способов нормировки в таком случае является выбор
амплитуды падающей волны, равной единице , т.е . A
1
≡ 1.
η
ξ
ξ
1
ξ
2
Рис. 3. 2
u
E
II
-u
0
x
I III
Рис. 3. 3
-l 0 l
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
14
Те пе р ь о пр е де ли м э не р г
е ти ч е ски е ур о вни . Д ля ч ётных со сто яни й
1
tgϖ ν l = . У мно ж и м на ϖl и вве дём но вые пе р е ме нные ξ=ϖνl и η=ϖl.
ν
П о луч и м ξ tgξ =η.
2m E l 2 U 0
За ме ти м, ч то ξ 2
+η 2
= ϖ l (ν + 1) =
2 2 2
=
h2 E
U0
= 2 2
= γ 2 , где γ – б е зр а зме р на я ко нста нта , не за ви сящ а я о тэ не р ги и .
h 2ml
ξ tgξ = η
Ре ш а я си сте му 2 , о пр е де ли м ξ, а сле до ва те льно , и зна ч е ни я
ξ + η 2
= γ 2
э не р г
ии.
2m E U 2mU 0 2 2m E 2
ξ 2 = ϖ 2ν 2 l 2 = 2 0 − 1 l 2 = l − 2 l ,
h E h2 h
h2
о ткуда E n = − E = −U 0 + 2
ξn2 .
2ml
η Си сте му удо б но р е ш а ть г де ξ б удут
р а ф и ч е ски , г
то ч ка ми пе р е се ч е ни я о б о и х г
р а ф и ко в (р и с.3.2).
ξ А на ло ги ч но на хо дятся En для не ч ётных со сто яни й.
ξ1 ξ2
О тме ти м, ч то ур о вня Е=–U0 не т. Ч а сти ца ло ка ли зо ва на в
~ ~
ко не ч но й о б ла сти пр о стр а нства 2 l ( l > l ) , в си лу ч е го
не о пр е де лённо сть в и мпульсе б уде т со ста влять
Ри с. 3. 2 ~
∆p ~ h 2 l , в то вр е мя ка к пр и Е=–U0 , о на до лж на б ыла
б ы р а вняться нулю .
u Те пе р ь р а ссмо тр и м случ а й Е>0.
В э то м случ а е n и k – де йстви те льные ве ли ч и ны
2mE U
E k 2 = 2 > 0 и n2 = 1 + 0 > 0 ,
-l 0 l h E
II -u0 x по э то му
I III Ψ I = A1eikx + Ae −ikx , x > l ;
Ри с. 3. 3
Ψ III = Beikx + B2 e −ikx , x > l ;
Ψ II = Ce iknx + Ge −ikn x , x < l .
Г р а ни ч ные усло ви я б удут о пр е де ляться по ло ж е ни е м и сто ч ни ка ч а сти ц.
П р е дпо ло ж и м, ч то и сто ч ни к на хо ди тся сле ва о т ямы. То г да во лна ,
р а спр о стр а няю щ а яся в о тр и ца те льно м на пр а вле ни и о си x пр а ве е ямы, до лж на
о тсутство ва ть, т.е . B2≡ 0.
В случ а е и нф и ни тно г о дви ж е ни я ВФ не являе тся ква др а ти ч но
и нте г р и р уе мо й. О дни м и з спо со б о в но р ми р о вки в та ко м случ а е являе тся выб о р
а мпли туды па да ю щ е й во лны, р а вно й е ди ни це , т.е . A1≡ 1.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
