Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4. Центрально-симметричное поле.
Атом водорода.
Задача водородоподобного атома , вокруг ядра которого движется один
электрон, представляет собой типичную задачу на движение в поле центральной
силы.
Изучение теории водородоподобных атомов имеет принципиальное
значение для теории многоэлектронных атомов.
Будем считать массу ядра М бесконечно большой по сравнению с массой
электрона m и совместим начало координат с ядром атома . Учёт движения ядра
приведёт к замене массы электрона m на приведённую массу µ =
⋅
+
≈
Mm
M
m
m.
Уравнение Шрёдингера для водородоподобного атома имеет вид
∇+−
=
2
2
2
2
0ΨΨ
m
E
ze
r
h
. (4.1)
Оператор Лапласа в сферических координатах
∇==
+
+
2
2
2
22
2
2
1111
∆
r
r
r
r
r
rr
∂
∂
∂
∂θ
∂
∂
θ
∂
∂
θ
∂
∂ϕ
sin
sin
sin
(4.2)
Волновая функция электрона в атоме водорода может быть представлена в
виде произведения двух функций
Ψ
nlmnllm
rRrY(,,)()(,)
θ
ϕ
θ
ϕ
=
. (4.3)
При этом содержит три целочисленных параметра n, l, m:
n=1,2,... совпадает с номером уровня энергии;
квантовое число l определяет величину квадрата момента количества
движения Lllln
22
10121=+=−h(),(,,,...,), (4.4)
а квантовое число m – z-проекцию момента
Lmmll
Z
=
=
−
+
h,(,...,,...,).0 (4.5)
Угловая часть волновой функции Y
lm
(,)
θ
ϕ
одинакова при движении в
центральном поле с произвольной зависимостью от r и имеет вид
Y
lmlmm
(,)()()
θ
ϕ
θ
ϕ
=
Θ
Φ
, (4.6)
где Θ
lm
m
l
m
llm
lm
P()()
()()!
()!
(cos),θθ=−
+−
+
1
21
2
(4.7)
PP
l
m
m
m
l
(cos)
(cos),θ
∂
∂
θ
θ= (4.8)
[]
Px
lx
x
l
l
l
l
l
()
!
()=−
1
2
1
2
∂
∂
, (4.9)
P
l
(cos)
θ
– полином Лежандра.
Φ
m
im
()
exp()
ϕ
ϕ
π
=
2
. (4.10)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                          4. Ц ентра л ьно-си мметри ч ное пол е.
                                                        А том вод ород а .
                   За да ч а во до р о до по до б но г о а то ма , во кр уг ядр а ко то р о г     о дви ж е тся о ди н
           э ле ктр о н, пр е дста вляе тсо б о й ти пи ч ную за да ч у на дви ж е ни е в по ле це нтр а льно й
           си лы.
                   И зуч е ни е те о р и и во до р о до по до б ных а то мо в и ме е т пр и нци пи а льно е
           зна ч е ни е для те о р и и мно гоэ ле ктр о нных а то мо в.
                   Б уде м сч и та ть ма ссу ядр а М б е ско не ч но б о льш о й по ср а вне ни ю с ма ссо й
           э ле ктр о на m и со вме сти м на ч а ло ко о р ди на т с ядр о м а то ма . У ч ёт дви ж е ни я ядр а
                                                                                                    M ⋅m
           пр и ве дётк за ме не ма ссы э ле ктр о на m на пр и ве дённую ма ссу µ =                       ≈ m.
                                                                                                    M +m
                   У р а вне ни е Ш р ёди нгер а для во до р о до по до б но г     о а то ма и ме е тви д
                                                2m          ze 
                                                               2
                                       ∇ 2Ψ + 2  E −            Ψ = 0 .                              (4.1)
                                                 h           r 
                   О пе р а то р Л а пла са в сф е р и ч е ски х ко о р ди на та х
                                       1 ∂  2 ∂  1  1 ∂                    ∂      1 ∂ 2  (4.2)
                           ∇2 = ∆ =            r    +               sin θ      +             
                                      r 2 ∂ r  ∂ r  r 2  sin θ ∂ r        ∂ r  sin 2 θ ∂ 2 ϕ 
                   Во лно ва я ф ункци я э ле ктр о на в а то ме во до р о да мо ж е тб ыть пр е дста вле на в
           ви де пр о и зве де ни я двух ф ункци й
                                   Ψnlm ( r ,θ ,ϕ ) = Rnl ( r )Ylm ( θ ,ϕ ) .                 (4.3)
           П р и э то м со де р ж и ттр и це ло ч и сле нных па р а ме тр а n, l, m:
                    n=1,2,... со впа да е тс но ме р о м ур о вня э не р г    ии;
                    ква нто во е ч и сло l о пр е де ляе т ве ли ч и ну ква др а та мо ме нта ко ли ч е ства
                   дви ж е ни я L2 = h 2 l( l + 1 ), ( l = 0 ,1,2 ,...,n − 1 ),               (4.4)
                   а ква нто во е ч и сло m – z-пр о е кци ю мо ме нта
                                    LZ = mh, ( m = − l ,...,0 ,...,+ l ).                     (4.5)
                   Уг ло ва я ч а сть во лно во й ф ункци и Ylm ( θ ,ϕ ) о ди на ко ва пр и дви ж е ни и в
           це нтр а льно м по ле с пр о и зво льно й за ви си мо стью о тr и и ме е тви д
                                           Ylm ( θ ,ϕ ) = Θ lm ( θ )Φ m ( ϕ ) ,               (4.6)
                                                ( 2l + 1 )( l − m )!      m
                     где Θ lm ( θ ) = ( −1 )m                        Pl       (cosθ ),               (4.7)
                                                    2( l + m )!
                                            m                ∂m
                                         Pl (cosθ ) =               Pl (cosθ ),                       (4.8)
                                                         ∂ cosθ m
                                      Pl ( x ) =
                                                    1 ∂l
                                                 l !2 ∂ x
                                                     l    l [
                                                            ( x 2 − 1 )l ,]                           (4.9)

            Pl (cosθ ) – по ли но м Л е ж а ндр а .
                                                      exp( imϕ )
                                         Φm ( ϕ ) =               .                                   (4.10)
                                                          2π



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы