ВУЗ:
Составители:
19
∂
∂
α
∂
∂
αα
αα
ΨΨ
Ψ
r
Ce
r
Ce
rr
=−==
−−
,
2
2
22
Это , после подстановки в уравнение , позволяет записать
α
α
2
2
2
22
0−++
=
r
m
E
e
r
h
.
Последнее уравнение будет верно для любых r при выполнении двух условий:
2
0
2
2
mE
h
+=α и
2
20
2
2
me
h
−=α
.
Следовательно , E
me
1
4
2
2
=−
h
. Это энергия основного состояния атома водорода .
E
1
135
=
, эВ. α =≡
me
r
2
2
1
1
h
, откуда
r
1
1
053==
α
,
A
0
– первый боровский радиус
атома водорода .
Константу C определим нормировкой Ψ-функции, которая в общем виде
записывается формулой Ψ
2
1
−∞
∞
∫
=dτ .
В нашем случае 41
22
0
1
πAerdr
r
r
−
∞
=
∫
. Интегрируя (см. пункт 2), найдём
A
r
=
1
1
3
π
. Нормированная функция примет вид R(r
r
e
r
r
) =
−
1
1
3
1
π
.
b) По определению , вероятность обнаружить электрон в элементе объёма dτ = = r
2
dr sinθ dθ dϕ выражается формулой
dWrrd(,,)(,,)θϕθϕτ=Ψ
2
. Для шарового
слоя между r и (r+dr)
drdrτπ=4
2
.
Следовательно ,
(
)
dWrdCrrrdr()expτπ=−
2
1
2
24 .
c) Определим максимальное значение W(r)-функции.
dW
dr
rr
m
=
=
0.
Откуда
rr
m
=
1
, т.е . наиболее вероятностное расстояние совпадает с первым
боровским радиусом атома водорода .
a) Учитывая, что
rrr
h
r
$
,
$
;
$
$
rrpiT
p
m
==−∇=
2
2
и для атома водорода
$
u
e
r
=−
2
,
запишем средние значения:
<>===
−
∞
−
∞
∫∫∫
rrrd
r
erdrred
r
r
Ψ
2
1
3
3
1
0
23
0
4
4
2
1
()τ
π
π
ρρ
ρ
,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
19
∂Ψ ∂ 2Ψ
= − Cα e − α r , = Cα 2 e − α r = α 2Ψ
∂r ∂ r
2
Э то , по сле по дста но вки в ур а вне ни е , по зво ляе тза пи са ть
2α 2m e2
α −2
+ 2 E + =0.
r h r
П о сле дне е ур а вне ни е б уде тве р но для лю б ых r пр и выпо лне ни и двух усло ви й:
2mE 2me 2
+α =0 и
2
− 2α = 0 .
h2 h2
me 4
Сле до ва те льно , E1 = − 2 . Э то э не р г и я о сно вно г
о со сто яни я а то ма во до р о да .
2h
me 2 1 1
E1 = 13 ,5 э В. α = 2 ≡ , о ткуда r1 = = 0 ,53 A0 – пе р вый б о р о вски й р а ди ус
h r1 α
а то ма во до р о да .
Ко нста нту C о пр е де ли м но р ми р о вко й Ψ-ф ункци и , ко то р а я в о б щ е м ви де
∞
∫Ψ dτ = 1 .
2
за пи сыва е тся ф о р муло й
−∞
∞
− rr
∫ 4π A e r 2 dr = 1 . И нте г
2
В на ш е м случ а е 1 р и р уя (см. пункт 2), на йдём
0
1 1 − rr
A= . Но р ми р о ва нна я ф ункци я пр и ме тви д R( r ) = e 1 .
π r13 π r13
2
b) П о о пр е де ле ни ю , ве р о ятно сть о б на р уж и ть э ле ктр о н в э ле ме нте о б ъёма dτ = = r
2
dr sinθ dθ dϕ выр а ж а е тся ф о р муло й dW ( r ,θ ,ϕ ) = Ψ ( r ,θ ,ϕ ) dτ . Д ля ш а р о во г
о
сло я ме ж ду r и (r+dr) dτ = 4π r 2 dr .
Сле до ва те льно , dW ( r )dτ = C 2 exp(− 2r r1 )4π r 2 dr .
c) О пр е де ли м ма кси ма льно е зна ч е ни е W(r)-ф ункци и .
dW
= 0.
dr r = r
m
О ткуда rm = r1 , т.е . на и б о ле е ве р о ятно стно е р а ссто яни е со впа да е тс пе р вым
б о р о вски м р а ди усо м а то ма во до р о да .
r$ r r$ r p$ 2 e2
a) У ч и тыва я, ч то r = r , p = −ih∇; T = $ и для а то ма во до р о да u = − , $
2m r
за пи ш е м ср е дни е зна ч е ни я:
4π ∞ − 2r1r 3 ∞
< r > = ∫ rΨ ( r )dτ =
2
3 ∫
e r dr = 4r1 ∫ e − 2 ρ ρ 3 dρ ,
π r1 0 0
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
