ВУЗ:
Составители:
21
координаты центра тяжести
r
r
r
R
rr
=
+
+
µ
µ
µµ
1122
12
и взаимного расстояния
r
r
r
rrr
=
−
21
. Показать , что если потенциальная энергия взаимодействия частиц
зависит от их взаимного расстояния
(
)
UUrr=−
r
r
21
, то гамильтониану можно
придать вид
()
(
)
$
()Hur
Rr
=−
+
−
+
+
h
h
2
12
2
12
12
22µµ
µµ
µµ
∆∆
где
∆
R
и
∆
r
– операторы Лапласа по компонентам векторов
r
R
и
r
r
.
4. Найти расстояния, на которых вероятность нахождения электрона в атоме
водорода имеет максимум в 2p- и 3d-состояниях, если известны радиальные
функции в этих состояниях:
2p-состояние : RrAre
r
r
r
e
r
r
r
r
22
1
3
1
22
11
1
42
();==
−−
π
3d-состояние :
Rr
r
r
r
eAre
r
r
r
r
3
4
1
3
1
2
3
2
1
3
33
11
().=
=
−−
π
Ответ: rrrr
=
=
46
11
;.
5. Частица массы m находится в сферически симметричной потенциальной яме ,
где
u
r
(
)
=
0
при rr
<
0
и
u
=
∞
при rr
=
0
, где r
0
– радиус ямы. Найти :
a) возможные значения энергии и нормированные собственные функции
частицы в s-состояниях (l=0), где Ψ-функция зависит только от r. При
решении уравнения Шрёдингера воспользоваться подстановкой
Ψ
=
χ
r
;
b) наиболее вероятное значение r
вер
и вероятность W нахождения частицы в
области r<r
вер
в основном состоянии.
Ответ:
E
mr
nr
r
kr
r
r
r
W
nss
ве
==
==
π
π
22
0
2
2
0
0
2
1
2
2
1
2
h
,()
sin
,
,.
р
Ψ
6. Найти средние значения <r>, <r
2
> и среднего квадратического отклонения
<(r–<r>)
2
> для частицы, находящейся на n-м s-уровне (l=0). Воспользоваться
решением предыдущей задачи.
Ответ: <>=<>=−
r
r
r
r
n
0
2
0
2
22
23
1
3
2
,,
π
<−<>>=<>−<>=−
().rrrr
r
n
222
0
2
22
12
1
6
π
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
21
r r
r µ 1 r1 + µ 2 r2
ко о р ди на ты це нтр а тяж е сти R= и вза и мно г
о р а ссто яни я
µ1 + µ2
r r r
r = r2 − r1 . П о ка за ть, ч то е сли по те нци а льна я э не р ги я вза и мо де йстви я ч а сти ц
r r
за ви си т о т и х вза и мно г о р а ссто яни я U = U ( r2 − r1 ) , то гами льто ни а ну мо ж но
пр и да ть ви д
h2 h 2 ( µ1 + µ 2 )
H$ = − ∆R − ∆ r + u( r )
2( µ1 + µ2 ) 2 µ1 µ 2
r r
де ∆ R и ∆ r – о пе р а то р ы Л а пла са по ко мпо не нта м ве кто р о в R и r .
г
4. На йти р а ссто яни я, на ко то р ых ве р о ятно сть на хо ж де ни я э ле ктр о на в а то ме
во до р о да и ме е т ма кси мум в 2p- и 3d-со сто яни ях, е сли и зве стны р а ди а льные
ф ункци и в э ти х со сто яни ях:
− r 1 r − 2rr1
2p-со сто яни е : R2 ( r ) = A2 re 2r1 = e ;
4 2π r 1
3 r
1
2
1 r − 3rr1 − r
3d-со сто яни е : R3 ( r ) = e = A3 r e 3r1 .
2
3 r
34 π r1 1
О тве т: r = 4r1 ; r = 6 r1 .
5. Ч а сти ца ма ссы m на хо ди тся в сф е р и ч е ски си мме тр и ч но й по те нци а льно й яме ,
де u( r ) = 0 пр и r < r0 и u = ∞ пр и r = r0 , где r0 – р а ди ус ямы. На йти :
г
a) во змо ж ные зна ч е ни я э не р г и и и но р ми р о ва нные со б стве нные ф ункци и
ч а сти цы в s-со сто яни ях (l=0), г де Ψ-ф ункци я за ви си т то лько о т r. П р и
р е ш е ни и ур а вне ни я Ш р ёди нгер а во спо льзо ва ться по дста но вко й Ψ = χ r ;
b) на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е rвер и ве р о ятно сть W на хо ж де ни я ч а сти цы в
о б ла сти r, и ср е дне г
о ква др а ти ч е ско г
о о ткло не ни я
<(r–)2> для ч а сти цы, на хо дящ е йся на n-м s-ур о вне (l=0). Во спо льзо ва ться
р е ш е ни е м пр е дыдущ е й за да ч и .
r r2 3
О тве т: < r > = 0 , < r 2 > = 0 1 − ,
2 3 2π 2 n 2
r02 6
< ( r − < r > ) > = < r > − < r > = 1 − 2 2 ..
2 2 2
12 π n
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
