Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 22 стр.

UptoLike

Составители: 

22
5. Теория возмущений и вариационный принцип
Большинство представляющих интерес квантово -механических систем
описываются уравнением Шрёдингера, которое слишком сложно для того , чтобы
можно было получить его точное решение. Однако часто оказывается, что какая-
то более простая, допускающая точное решение система очень похожа на
истинную , для которой не удаётся получить точное решение . Если известны
волновые функции и энергетические уровни этой более простой системы, их
можно изменить так, чтобы в результате этого они стали ближе к истинным
волновым функциям и энергиям. Пусть известны собственные значения и
собственные функции гамильтониана
H
()0
:
HE
nnn
()()()()
.
0000
ΨΨ= (5.1)
Необходимо определить энергии и собственные функции гамильтониана H:
$$$
()
H
H
W
=
+
0
, где
$
H
0
оператор гамильтониана невозмущённой
системы,
$
W
оператор возмущения. Тогда истинные энергии и волновые
функции записываются в виде
EEEE
mmmm
=+++
()()()
...,
012
(5.3)
Ψ
ΨΨΨ
mmmm
=+++
()()()
....
012
(5.4)
Энергия и волновая функция нулевого приближения:
EH
mmm
()()()()0000
=ΨΨ и
Ψ
m
()0
соответственно . (5.5)
Поправка первого порядка и второго к энергии m-го уровня равны
EWWdVW
mmmmmmm
()()()()*()
$$
00000
===
ΨΨΨΨ (5.6)
E
W
EE
m
nm
mn
nm
()
()()
2
2
00
=
. (5.7)
Волновая функция в первом приближении имеет вид
Ψ
ΨΨ
mm
nm
mn
nm
n
W
EE
()()
()()
()10
00
0
=+
. (5.8)
Другим приближённым методом квантовой механики является
вариационный принцип. Он гласит, что энергия, вычисленная с использованием
волновой функции, не может быть меньше истинной минимальной энергии
системы.
Существует метод выбора лучшей пробной функции. Обычно пользуются
следующими двумя подходами . В первом из них волновая функция записывается
в виде функции одного или большего числа параметров, которые затем
варьируются, чтобы найти минимум энергии. Другой подход развит Ритцем. Он
предложил пробную функцию в виде суммы функций. Сами функции не
варьируются, но их веса являются варьируемыми параметрами .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                               22



                             5. Теори я возму щ ени й и ва ри а ци онны й при нци п

                 Б о льш и нство пр е дста вляю щ и х и нте р е с ква нто во -ме ха ни ч е ски х си сте м
         о пи сыва ю тся ур а вне ни е м Ш р ёди нг      е р а , ко то р о е сли ш ко м сло ж но для то г   о , ч то б ы
         мо ж но б ыло по луч и ть е го то ч но е р е ш е ни е . О дна ко ч а сто о ка зыва е тся, ч то ка ка я-
         то б о ле е пр о ста я, до пуска ю щ а я то ч но е р е ш е ни е си сте ма о ч е нь по хо ж а на
         и сти нную , для ко то р о й не уда ётся по луч и ть то ч но е р е ш е ни е . Если и зве стны
         во лно вые ф ункци и и э не р гети ч е ски е ур о вни э то й б о ле е пр о сто й си сте мы, и х
         мо ж но и зме ни ть та к, ч то б ы в р е зульта те э то г           о о ни ста ли б ли ж е к и сти нным
         во лно вым ф ункци ям и э не р ги ям. П усть и зве стны со б стве нные зна ч е ни я и
         со б стве нные ф ункци и г    а ми льто ни а на H ( 0 ) :
                                          H ( 0 )Ψn( 0 ) = E n( 0 )Ψn( 0 ) .                           (5.1)
         Не о б хо ди мо о пр е де ли ть э не р ги и и со б стве нные ф ункци и г        а ми льто ни а на H:
                         $     $
                         H = H +W , г
                                 (0 )   $           $
                                               де H0 – о пе р а то р г         а ми льто ни а на не во змущ ённо й
         си сте мы, W$ – о пе р а то р во змущ е ни я. То г               да и сти нные э не р г  и и и во лно вые
         ф ункци и за пи сыва ю тся в ви де
                                  Em = Em( 0 ) + E m( 1 ) + E m( 2 ) + ... ,                            (5.3)
                                 Ψm = Ψm( 0 ) + Ψm( 1 ) + Ψm( 2 ) + ... .                              (5.4)
         Э не р ги я и во лно ва я ф ункци я нуле во го пр и б ли ж е ни я:
                                Em( 0 ) = Ψm( 0 ) H ( 0 ) Ψm( 0 ) и Ψm( 0 ) со о тве тстве нно .       (5.5)
         П о пр а вка пе р во г
                              о по р ядка и вто р о го к э не р ги и m-го ур о вня р а вны
                                Em = Ψm W Ψm = ∫Ψm( 0 )*W$ Ψm( 0 ) dV = Wm m
                                 (0 )     (0 ) $    (0 )
                                                                                                       (5.6)
                                                           2
                                                    Wn m
                                  Em( 2 ) =   ∑                     .                                  (5.7)
                                              n≠mEm( 0 ) − E n( 0 )
         Во лно ва я ф ункци я в пе р во м пр и б ли ж е ни и и ме е тви д
                                                                   Wn m
                                  Ψm( 1 ) = Ψm( 0 ) + ∑ ( 0 )               Ψ (0 ) .
                                                                        (0 ) n
                                                                                                       (5.8)
                                                       n ≠ m E m − En
                  Д р уги м пр и б ли ж ённым ме то до м ква нто во й ме ха ни ки                           являе тся
         ва р и а ци о нный пр и нци п. О н г     ла си т, ч то э не р г и я, выч и сле нна я с и спо льзо ва ни е м
         во лно во й ф ункци и , не мо ж е т б ыть ме ньш е и сти нно й ми ни ма льно й э не р г                   ии
         си сте мы.
                  Сущ е ствуе т ме то д выб о р а луч ш е й пр о б но й ф ункци и . О б ыч но по льзую тся
         сле дую щ и ми двумя по дхо да ми . В пе р во м и з ни х во лно ва я ф ункци я за пи сыва е тся
         в ви де ф ункци и о дно г         о и ли б о льш е го ч и сла па р а ме тр о в, ко то р ые за те м
         ва р ьи р ую тся, ч то б ы на йти ми ни мум э не р ги и . Д р уг        о й по дхо д р а зви т Ри тце м. О н
         пр е дло ж и л пр о б ную ф ункци ю в ви де суммы ф ункци й. Са ми ф ункци и не
         ва р ьи р ую тся, но и х ве са являю тся ва р ьи р уе мыми па р а ме тр а ми .




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com