Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
Здесь первый интеграл – интеграл Эйлера-Пуассона , второй интеграл берётся
путём дифференцирования интеграла Эйлера-Пуассона по параметру α. Так как
(
)
EJ
0
=min α , то
(
)
dJ
dm
m
α
α
ω
α
=−
=
1
4
0
2
0
2
2
h
,
откуда
α
ω
=
m
0
h
.
Подставляя найденное α, получим
()
EJ
0
2
==α
ω
h
,
()
Ψ
0
00
2
1
4
2
x
mm
x=
−
ω
π
ω
hh
exp .
Эти значения энергии и волновой функции совпадают с их точными
выражениями , что говорит об удачном выборе пробной волновой функции.
Для вычисления энергии и волновой функции первого возбуждённого
состояния надо взять пробную функцию
Ψ
1
, ортогональную к
Ψ
0
. Простейшей
такой функцией будет
(
)
(
)
Ψ
1
1
2
2
xBxx,expββ=−
.
Действительно ,
()
ΨΨ
01
1
2
2
0(,)(,)xxdxABxedx
x
αβ
βα
−∞
∞
−+
−∞
∞
∫∫
==
,
так как подынтегральная функция нечётная.
Из условия нормировки
Ψ
1
2222
2
1
2
3
2
2
1dxBxedxB
x
===
−
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
β
π
β
находим
B =
2
3
1
4
β
π
.
Разбив интеграл на сумму интегралов и взяв производную
d
dx
2
2
, получим
−
−+
+
+
−+
−
−∞
∞
−
−∞
∞
−
−∞
∞
∫∫
∫
α
πµ
αα
α
π
ω
α
ω
αα
α
1
2
22
1
2
2
2
22
0
2
2
2
0
2
2
2
1
42
h
h
edxxedx
m
xedx
m
m
xx
x
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                                   24



           Зде сь пе р вый и нте г  р а л – и нте г р а л Э йле р а -П уа ссо на , вто р о й и нте гр а л б е р ётся
           путём ди ф ф е р е нци р о ва ни я и нте г р а ла Э йле р а -П уа ссо на по па р а ме тр у α. Та к ка к
           E0 = min J (α ) , то
                       dJ (α )
                             1  h 2 mω02 
                           =       − 2  =0,
                       dα    4 m     α 
                       mω0
           о ткуда α =     .
                        h
                                                                                                      hω
           П о дста вляя на йде нно е α, по луч и м E0 = J (α ) =                                        ,
                                                                                                       2
                                                           1
                                    mω 0  4        mω 0 2 
                       Ψ0 ( x ) =          exp −           x .
                                    πh             2h        
           Э ти зна ч е ни я э не р г    и и и во лно во й ф ункци и со впа да ю т с и х то ч ными
           выр а ж е ни ями , ч то г  о во р и то б уда ч но м выб о р е пр о б но й во лно во й ф ункци и .
                   Д ля выч и сле ни я э не р г    и и и во лно во й ф ункци и пе р во г     о во зб уж дённо го
           со сто яни я на до взять пр о б ную ф ункци ю Ψ1 , о р то г        о на льную к Ψ0 . П р о сте йш е й
           та ко й ф ункци е й б уде т
                       Ψ1 ( x ,β ) = Bx exp − 12 β x 2 .    (             )
           Д е йстви те льно ,
                        ∞                                                     ∞
                                                                                    − 21 ( β + α ) x 2
                        ∫Ψ0 ( x ,α )Ψ1 ( x ,β )dx = AB ∫ xe                                              dx = 0 ,
                       −∞                                                     −∞
           та к ка к по дынте гр а льна я ф ункци я не ч ётна я.
           И з усло ви я но р ми р о вки
                        ∞                              ∞                                    1
                                                               2 −β x2                  π       2

                        ∫       Ψ 12 dx   =B           ∫x                dx = B                      =1
                                                   2                                2
                                                                e                            3
                       −∞                              −∞                               2β       2

                                               1
                           2β 3  4
           на хо ди м B =        .
                           π 
                                                                                   d2
           Ра зб и в и нте г
                           р а л на сумму и нте г  р а ло в и взяв пр о и зво дную      , по луч и м
                                                                                   dx 2
                                     ∞                  ∞
                   α 2 h                                           
                        1   2
                                       −α x 2
                                              dx + α ∫ x 2 e − α x dx  +
                                                                  2
                −             −α ∫e                2
                    π  2µ        −∞                  −∞            
                                          ∞
                                                                    1  h 2α mω02 
                        1
                α         2
                                mω02           2 −α x 2
               + 
                π              2        ∫x       e            dx − 
                                                                    4 m
                                                                            +
                                                                              2 
                                                                                  .
                                       −∞




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы