Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Квантовая физика"). Шунина В.А. - 23 стр.

                                                                                 23
                                                               З а да чи
           1. Д ля о дно ме р но г     о гар мо ни ч е ско г о о сци ллято р а на йти э не р ги и и во лно вые
              ф ункци и о сно вно го и пе р во г              о во зб уж дённо го со сто яни й, и спо льзуя
              ва р и а ци о нный пр и нци п.
                                                             Р еш ени е:
                       Г а р мо ни ч е ски м о сци ллято р о м в ква нто во й ме ха ни ке на зыва е тся си сте ма
              с па р а б о ли ч е ски м по те нци а ло м. Её сво йства мо ж но о пр е де ли ть, р е ш а я
              ур а вне ни е Ш р ёди нг      е р а для ч а сти цы в по те нци а льно й яме па р а б о ли ч е ско й
              ф о р мы:
                              h 2 d 2 kx 2 
                             −             +       Ψ = EΨ .
                              2m dx 2           2 
              За да ч а до пуска е т то ч но е р е ш е ни е . Ре ш е ни е пр и во ди т к сле дую щ и м выво да м.
              Э не р ги я г  а р мо ни ч е ско г о о сци ллято р а ква нто ва на и пр и ни ма е тзна ч е ни я
                                          (               )
                             En = hω 0 n + 21 , n = 0 ,1,2 ,... ,
                                 k
              зде сь   ω=             (k – си ло ва я по сто янна я: F = − kx ). Во лно вые ф ункци и
                                 m
              г а р мо ни ч е ско го о сци ллято р а являю тся пр о и зве де ни е м по ли но мо в (за ви сящ и х
              о тсме щ е ни я) Э р ми та и г  а уссо вых ф ункци й.
                       Ре ш и м э ту за да ч у пр и б ли ж ённым ме то до м. Ва р и а ци о нный ме то д
              выч и сле ни я э не р ги и о сно вно г   о со сто яни я си сте мы сво ди тся к и спо льзо ва ни ю
              не р а ве нства
                             E0 ≤ ∫Ψ ∗ H$ Ψ dτ , г  де Ψ – пр о и зво льна я ф ункци я, удо вле тво р яю щ а я
              усло ви ю но р ми р о вки
                                 ∗
                             ∫Ψ Ψ dτ = 1 .
              П р и выб о р е пр о б но й ф ункци и уч тём, ч то во лно ва я ф ункци я о сно вно г             о
              со сто яни я не до лж на и ме ть узло в и Ψ → 0 пр и x → ±∞ .
                                                                                                                1
                                         − 21 α x 2                                                      α  4
              П усть Ψ ( x ,α ) = Ae                      . И з усло ви я но р ми р о вки на хо ди м A =   .
                                                                                                         π
                                         ∞
                          E0 = min ∫ Ψ ∗ H$ Ψ dx = min J (α ) ,
                                         −∞
                                              1       ∞                      h 2 d 2 mω02 2  − 1 α x 2
                                   α            2
                                                               − 12 α x 2
                          J (α ) =                  ∫    e                −         +   x e 2        dx .
                                   π                −∞                     2m dx  2
                                                                                         2   
                                                                                       d2
              Ра зб и в и нте гр а л на сумму и нте г  р а ло в и взяв пр о и зво дную      , по луч и м
                                                                                       dx 2
                                               ∞                   ∞
                             α 2 h                                             
                                    1   2
                                                  −α x 2
                                                         dx + α ∫ x 2 e − α x dx  +
                                                                              2
                           −             −α ∫e                2
                              π  2µ        −∞                   −∞             
                                                      ∞
                                                                                1  h 2α mω02 
                                 1
                          α        2
                                         mω02                  2 −α x 2
                         + 
                          π             2           ∫x        e           dx − 
                                                                                4 m
                                                                                        +
                                                                                          2 
                                                                                              .
                                                      −∞




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com