ВУЗ:
Составители:
25
()
Ψ
1
00
2
2
2
1
2
3
4
x
m
x
mx
=
−
π
ωω
hh
exp .
2. Найти поправку к энергии основного состояния линейного гармонического
осциллятора за счёт ангармонических членов в потенциальной энергии
uxaxbx()=+
34
, где a и b – постоянные . Рассмотреть поправку в первом
порядке теории возмущений.
Решение:
Квантовые уровни невозмущённой системы – это уровни гармонического
осциллятора, чьи собственные функции и собственные значения известны
(
)
Ψ
n
x
0
и
(
)
Enn
n
()
,,,,....
0
0
1
2
012=+=hω
Матричные элементы оператора возмущения в первом приближении имеют вид
WWdx
axdxbxdxaxbx
nnnn
nnnnnn
==
=+=+
∗
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫∫
ΨΨ
ΨΨ
()()
()()
$
.
00
0
2
30
2
434
Первый матричный элемент равен нулю из-за нечётности подынтегральной
функции. Тогда
EWbx
nnnnn
()14
==.
Используя значения матричных элементов для гармонического осциллятора
(например, Д . И . Блохинцев «Основы квантовой механики»), запишем
результат
Ebxb
m
nn
nnn
()14
2
2
0
2
2
3
2
1
2
==++
h
ω
.
Для основного состояния n=0 и поправка первого порядка для этого уровня
примет вид
Eb
m
n
()1
2
2
0
2
3
4
=
h
ω
.
3. В первом приближении теории возмущений вычислить изменение энергии
электрона в кулоновском поле ядра для основного состояния при увеличении
заряда ядра на единицу ( β-распад ядра).
Ответ:
W
emz
11
4
2
=−
h
.
4. Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины
a (0<x<a), найти в первом порядке теории возмущений смещение
энергетических уровней под действием возмущения вида (см. рис. 5.1):
a)
()
Vx
V
a
axa()=−−
0
2 ;
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
25
mω0 x 2
1 3
2 2 mω0 4
Ψ1 ( x) = x exp − .
π h 2h
2. На йти по пр а вку к э не р г
и и о сно вно г
о со сто яни я ли не йно го гар мо ни ч е ско г
о
о сци ллято р а за сч ёт а нгар мо ни ч е ски х ч ле но в в по те нци а льно й э не р г ии
u( x ) = ax + bx , г
3 4
де a и b – по сто янные . Ра ссмо тр е ть по пр а вку в пе р во м
по р ядке те о р и и во змущ е ни й.
Р еш ени е:
Ква нто вые ур о вни не во змущ ённо й си сте мы – это ур о вни гар мо ни ч е ско г
о
о сци ллято р а , ч ьи со б стве нные ф ункци и и со б стве нные зна ч е ни я и зве стны
( )
Ψn0 ( x ) и En( 0 ) = hω 0 n + 12 , n = 0 ,1,2 ,... .
М а тр и ч ные э ле ме нты о пе р а то р а во змущ е ни я в пе р во м пр и б ли ж е ни и и ме ю тви д
Wn n = ∫Ψn( 0 ) ∗W$Ψn( 0 )dx =
∞ 2 ∞ 2
= ∫ Ψn( 0 ) ax 3 dx + ∫ Ψn bx dx = axn n + bxn n .
(0 ) 4 3 4
−∞ −∞
П е р вый ма тр и ч ный э ле ме нт р а ве н нулю и з-за не ч ётно сти по дынте г р а льно й
ф ункци и . То гда
En( 1 ) = Wn n = bxn4 n .
И спо льзуя зна ч е ни я ма тр и ч ных э ле ме нто в для гар мо ни ч е ско г
о о сци ллято р а
(на пр и ме р , Д . И . Б ло хи нце в «О сно вы ква нто во й ме ха ни ки »), за пи ш е м
р е зульта т
3 h2 2 1
En = bxn n = b 2 2 n + n + .
(1) 4
2 m ω0 2
Д ля о сно вно г о со сто яни я n=0 и по пр а вка пе р во го по р ядка для э то го ур о вня
пр и ме тви д
3 h2
En = b 2 2 .
( 1)
4 m ω0
3. В пе р во м пр и б ли ж е ни и те о р и и во змущ е ни й выч и сли ть и зме не ни е э не р гии
э ле ктр о на в куло но вско м по ле ядр а для о сно вно г о со сто яни я пр и уве ли ч е ни и
за р яда ядр а на е ди ни цу ( β-р а спа д ядр а ).
e 4 mz
О тве т: W11 = − 2 .
h
4. Д ля ч а сти цы, на хо дящ е йся в б е ско не ч но г луб о ко й по те нци а льно й яме ш и р и ны
a (0
