ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28
2.21. а) Рассуждение “функция непрерывна в G, но G не является ограни-
ченной (замкнутой) областью, следовательно f не является равномерно
непрерывной в G” – неверно. Подтвердите это примерами (см.2.19).
б) Покажите, что ограниченность и замкнутость области G достаточны
для того, чтобы непрерывная в G функция была равномерно непрерыв-
ной, но не необходимы.
2.22. а) Сформулируйте отрицание определения равномерной непрерывно -
сти.
б) Пользуясь 2.22. а) покажите, что функция
22
1
sin);(
yx
yxf
−−
=
π
не
является равномерно непрерывной в области x
2
+y
2
<1.
П.3. Предел комплекснозначной функции комплексной переменной.
3.1. а) Сформулировать определение
0
)(lim
0
ω
=
→
zf
zz
по Коши, по Гейне.
б) Показать, что
00
));();((lim
0
0
ϑ
ϑ
iuyxiyxu
xx
yy
+=+
→
→
тогда и только тогда, когда
0
);(lim
0
0
uyxu
xx
yy
=
→
→
,
0
);(lim
0
0
ϑ
ϑ
=
→
→
yx
xx
yy
.
Если для функции w=f(z) иточкиz
0
возможно найти две такие после-
довательности {z
n
} и }{
'
n
z сходящиеся к z
0
, что {f(z
n
)} и )}({
'
n
zf имеют различ-
ные пределы, то функция f(z) вточкеz
0
предела не имеет.
3.2. Имеет ли функция
z
z
zf
Im
)(Re
)(
2
= предел в точке z=0?
Решение. Рассмотрим сначала последовательность точек
0→=
n
i
z
n
. Так
как Re z
n
=0, то f(z
n
)=0 и соответствующая последовательность значений
функции {f(z
n
)} сходится к 0. Возьмем теперь последовательность точек
2
'
1
n
i
n
z
n
+=
, также сходящуюся к 0,
n
z
n
1
Re
'
= и
2
'
1
Im
n
z
n
=
, поэтому 1)(
'
=
n
zf , и
последовательность
)}({
'
n
zf сходится уже к 1. Так как для двух последова-
тельностей
)}({
'
n
zf , сходящихся к 0, соответствующие последовательности
значений функции {f(z
n
)} и )}({
'
n
zf имеют различные пределы, то заключаем,
что f(z) вточкеz=0 предела не имеет.
3.3. Установить, имеют ли д анные функции предел в указанных точках, ес-
ли предел существует, найти его
а)
z
z
w
Re
=
,z=0; б)
z
z
w =
,z=0; в)
2
_
z
z
w =
,z=0; г)
i
z
z
w
−
=
,z=∞.
Ответ: а) нет; б) нет; в) ∞; г)1.
3.4. Доказать, что
а) если z→∞ так, что х→+∞, то exp z→∞; если z→∞ так, что х→-∞, то
exp z→0. (Найдите |exp z|.)
