ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27
Решение. Функция x
2
-y
2
и x
2
+3xy+y
2
непрерывны при всех значениях x
и y как многочлены от x и y. По теореме о непрерывности композиции не-
прерывных функций вытекает, что
22
yx
e
−
и )3(sin1
224
yxyx +++ также непре-
рывны. При этом
0)3(sin1
224
≠+++ yxyx , а потому и функция непрерывна при
всех значениях x и y.
2.14. Найти точки разрыва функции
yx
xy
z
−
+
=
2
1
.
Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль.
Но x
2
-y=0 или y=x
2
– уравнение параболы. Следовательно, данная функция
имеет линией разрыва параболу y=x
2
.
2.15. Найти точки, линии, поверхности разрыва следующих функций
а)
22
ln yxz += ; б)
2
)(
1
yx
z
−
=
; в)
22
1
1
yx
z
−−
=
; г)
xy
z
1
cos=
;
д)
2
2
yx
yx
z
+
−
=
; е)
22
22
yx
yx
z
−
+
=
; ж)
nyx
z
22
sinsin
1
+
=
π
,
з)
222
428
1
zyx
u
−−−
=
, и)
222
1
zyx
u
−+
=
, к)
1
1
222
+−+
=
zyx
u
.
2.16. Построить функцию, имеющую разрывы на линиях x
2
+y
2
=1 и x
2
-y
2
=1.
2.17. Доопределить функцию
22
22
yx
yx
z
+
=
вточке, где она не определена, так,
чтобы она оказалась непрерывной в этой точке.
(Найти предел в точке (0;0), переходя к полярным координатам, положить
z(0;0) равным значению найденного предела.)
2.18. Сформулируйте определение функции равномерно непрерывной в об-
ласти G.
а) В чем сходство определений непрерывности функции в области G и
равномерной непрерывности в области G? Перефразируйте определение не-
прерывности в точке, используя критерий Коши существования предела.
б) В чем отличие этих о пределений? Можно ли говорить о функции
равномерно непрерывной в точке? В определении непрерывной функции
δ(ε;х). Зависит ли δ от x в определении равномерно непрерывной функции?
в) Сравнивая соответствующие определения, покажите, что из р авно -
мерной непрерывности следует непрерывность функции в области G.
2.19. Используя определение равномерной непрерывности, показать, что
следующие функции равномерно непрерывны
а) u=2x-3y+5 в
2
, б)
22
yxu += в
2
.
(Вб) перейти к полярным координатам.)
Теорема. Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области,
равномерно непрерывна в этой области.
2.20. Является ли функция f равномерно непрерывной в области определе-
ния
22
4);( yxyxf −−= .
