ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29
б) функции sin z, cos z могут принимать значения сколь угодно б оль-
шие по модулю.
Существуют ли пределы этих функций при y→∞,x–фиксированном?
При x→∞,y–фиксированном?(Выделите действительную и мнимую части
соответствующих функций.)
3.5. а) Сформулируйте определение функции f(z) непрерывной в точке z
0
.
б) Докажите, что функция f(z)=u(x;y)+iϑ(x;y) непрерывна в точке
z
0
=x
0
+iy
0
тогда и только тогда, когда в точке (x
0
,y
0
) непрерывны её дей-
ствительная и мнимая часть u(x;y) и мнимая часть ϑ(x;y).
3.6. Доказать, что функция
__
2
)( zzfw == непрерывна в каждой конечной точ-
ке плоскости.
Решение. Так как z=x+iy, то f(z)=(x-yi)
2
=x
2
-y
2
-2xyi. Действительная
часть (u(x,y)) и мнимая (ϑ(x,y)) части функции f(z) равны соответственно
u(x,y)= x
2
-y
2
, и ϑ(x,y)= -2xy.
Всилутого, что функции u(x,y) и ϑ(x,y) непрерывны как функции двух
действительных переменных в любой точке (x,y), то приходим к выводу о
непрерывности функции
_
2
zw = вкаждойточкеz-плоскости.
3.7. Показать, что функция w=|z|
2
z непрерывна в каждой точке комплекс-
ной плоскости.
3.8. Исследовать на непрерывность функций
а) f(z)=sin(xy)+icos(xy), б)
22
11
)(
yx
i
xy
zf
+
+
−
=
, в)
1
)(
2
_
+
⋅
=
z
zz
zf
.
3.9. Доказать, что если функция w=f(z) непрерывна в какой-либо точке z, то
и функции |f(z)| и
)(Re zf непрерывны в этой же точке.
3.10. а) В каких точках комплексной плоскости не существует предела
функции arg z (главное значение аргумента z)?
б) Исследовать на непрерывность функции arg z, (Ln z)
k
(к - ветвь
функции Ln z).
Ответ: а) во всех точках неположительной части вещественной оси.
3.11. Какая связь существует между понятиями аналитичность, непрерыв-
ность и дифференцируемость?
3.12. Исходя из определений функций exp z, sin z, cos z с помощью рядов и
используя непрерывность суммы степенного ряда внутри круга его
сходимости, доказать, что
а)
1
sin
lim
0
=
→
z
z
z
; б)
2
1cos1
lim
2
0
=
−
→
z
z
z
; в ) 1
1exp
lim
0
=
−
→
z
z
z
; г)
α
α
=
→
2
2
0
)sin(
lim
z
z
z
.
3.13. Определить тип особой точки z=0 для данной функции, находя соот-
ветствующий предел
а)
6
sin
1
3
9
z
zz
e
z
+−
−
; б)
2
1
3
z
ez ; г )
2
1cos
sin
2
22
z
z
zz
+−
−
.
