ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25
а)
22
lim
yx
yx
x
y
+
+
∞→
∞→
; б)
22
22
0
0
11
lim
yx
yx
x
y
+
−+
→
→
; в)
222
24
0
0
)(
)sin(
lim
yx
yx
x
y
+
→
→
; г)
22
1
22
0
0
)1(lim
yx
x
y
yx
+
→
→
++ .
Ответ: а)0;б)0;в)0;г) е.
2.5. Показать, что следующие пределы не существуют
а)
yx
x
x
y
+
→
→
0
0
lim ; б)
22
22
0
0
lim
yx
yx
x
y
+
−
→
→
.
(Рассмотреть изменение x и y вдоль прямых y=kx и показать, что дан-
ное выражение может стремиться к различным пределам в зависимости от
выбранного k).
2.6. Показать, что функция
≠+
+
==
=
0
2
00
22
22
yxпри
yx
xy
yx
при
z
непрерывна по каждой из переменных x и y в отдельности, но не является
непрерывной в точке (0;0) по совокупности переменных.
Решение. Положив y=y
1
=const, получим функцию
22
1
1
1
2
)(
yx
xy
x
+
=
ϕ
не-
прерывную всюду, так как при y
1
≠0 знаменатель x
2
+y
2
≠0, априy
1
=0, ϕ
1
(x)≡0.
Аналогично при х=х
1
=const функция
22
1
2
1
2
)(
yx
yx
x
+
=
ϕ
непрерывна всюду.
По совокупности переменных x,y функция z имеет разрыв в точке
(0;0). Действительно,
z
x
y
0
0
lim
→
→
не существует. Перейдя к полярным координатам
(x=r cosϕ,y=rsinϕ), получим z=sin 2ϕ, откуда видно, что если х→0 и y→0
так, что ϕ=const (0≤ϕ≤2π), то z→sin 2ϕ. Так как эти предельные значения
функции z зависят от ϕ, то z не имеет предела при х→0 и y→0.
Из того ,
cyxf =);(lim , когда точка М(x;y) приближается к точке A(a;b)
двигаясь по любой прямой, еще не вытекает, что с – предел функции f(x;y)
при x→a,y→b.
2.7. Существует ли предел функции
≠
+
≠
=
),0;0();(,
),0;0();(,0
);(
24
2
yxесли
yx
yx
yxесли
yxf
когда x→0, y→0?
Решение. Если положить x=at, y=bt, то при любых а и b≠0 имеем
0lim);(lim
224
2
00
=
+
=
→→
bta
bta
btatf
tt
.
Если же b=0, то y=0 и f(x;y)=0. Поэтому предел функции f(x;y), когда M(x;y)
стремиться к точке О(0;0) по любой прямой, равен нулю.
В то же время мы имеем при любом t>0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
